三個詞，三個聽起來不同的承諾
到此為止，你已認識了複數導數，也看過柯西-黎曼方程如何從「要求極限自每個方向都存在」中掉出來。自然的下一個問題是：一個函數若不只在某一點、而是在它存在的每一處都具備這項性質，我們該怎麼稱呼它？教科書搬出了三個詞——全純（holomorphic）、解析（analytic）與正則（regular）——初學者很合理地懷疑這必定是三件略有不同的事。其實不然。釐清「為何不然」，正是本篇的全部工作。
先從每個詞字面上的承諾入手，因為它們出自不同的起點。全純指的是「在某個開集的每一點皆複可微」。關鍵的限定詞是「開」：我們從不只要求在某個孤立點可微，而是要求在每一點周圍的小圓盤上都可微，好讓導數有空間從各個方向伸展。解析聽起來則強得多，意思是「在局部上等於一個收斂的冪級數」，也就是在每一點 z_0 附近，函數恰好等於某個和 a_n (z - z_0)^n。正則則是第三個老派的名字，常見於英式教材，它的意思就跟全純相同——表現良好、沒有任何奇點潛伏其中。
全純與正則：同一件事，不同口音
先處理容易的一對。全純與正則根本就是同義詞——沒有定理要證明，只有一條詞彙事實要吸收。「holomorphic（全純）」一詞源於希臘文，大致意為「整體成形」，暗示函數是由一塊不可分割的料子打造而成；「regular（正則）」則是同一種良好表現較樸素的英文說法。你多半會在較舊或受英式傳統影響的書裡碰到「正則」，而今日其他地方幾乎都用「全純」。當作者寫下其中一個時，你大可在心裡默讀成另一個。
這兩個詞都是針對開集而言的，這點值得停下來想想。要求 f 只在單一一點——比方說只在 z_0 = 0——複可微，幾乎毫無意義，因為複變分析的魔力來自導數存在於一整個「鄰域」上，好讓鄰近的點能彼此交談。這正是為何「在某個開集上全純」才是真正好用的概念，也是為何在整個平面上都全純的函數能掙得自己專屬的名字：整函數。多項式、e^z、cos z 與 sin z 全都是整函數；它們處處可微，無一例外。
深刻的等價：一個導數變成一整個冪級數
現在來到真正值得驚嘆的部分。整門學問的招牌定理說：全純與解析是同一回事——光是在某個開集上複可微，本身就強迫函數在每一點附近等於一個收斂的冪級數。一個導數就替你買下了無窮多個。停下來感受一下這在實數線上有多離譜：在那裡，函數可以恰好只可微一次，導數粗糙到第二次便不可微；函數也可以無窮次可微，卻仍然不等於它自己的泰勒級數。複可微一口氣把這些門全都甩上了。
這份禮物從何而來？完整的機械裝置要到後面的階梯才會見到，但引擎是圍道積分：從 f 沿一個小迴路的積分，你能一舉讀出 f 在圓心處的值，以及它每一階導數的值。具體來說，柯西積分公式從邊界還原出 f(z_0)，而同一個想法在積分號下微分，便源源不絕地交出 f'(z_0)、f''(z_0)，如此永不停止。
integral of f(z)/(z - z_0) dz = 2 pi i f(z_0)
once around a small loop ...
... gives the value at the centre,
and differentiating under the integral
gives f'(z_0), f''(z_0), f'''(z_0), ... forever.
=> f(z) = sum a_n (z - z_0)^n near z_0
with a_n = f^(n)(z_0) / n!其結果是一項稱為無窮可微的性質：全純函數自動光滑到每一階，而且更進一步——它在一個圓盤上「等於」它的泰勒級數，而非只是與之相切。這是複變分析偏離實數微積分最重要的一點，也是我們對「解析」一詞如此謹慎的原因。在複變課程裡，說一個函數是解析的，並不是比說它全純更強的主張；那是完全相同的主張，只是換上冪級數的鏡片、而非導數的鏡片來看罷了。
誠實地讀標籤：附帶細則
三條誠實的提醒，能讓這些詞不致誤導你。其一，「全純等於解析」這個等價是複數情境所特有的；切勿把它帶回實數線，在那裡這兩個詞會嚴重分家。其二，在上一篇你看到，光有柯西-黎曼方程還不足以保證全純——你需要偏導數連續（或 f 作為雙變數映射為實可微），充分條件才適用。函數可能在某個孤立點滿足 u_x = v_y 與 u_y = -v_x，卻仍在該點不可微。
其三，留意區域的邊界。「在某集合上全純」應讀作在某「開」集上全純，對邊界不作任何聲明。而許多最友善的函數，都是在你挖掉一些壞點之後才全純的：1/z 在整個平面上全純，唯獨原點除外，那裡有個奇點；Log z 則只有在你切出一個分支、把平面割開之後才全純。稱一個函數「全純」卻不說「在哪裡」全純，只是半句話。
為何這一個概念值得五篇指南
如果全純、解析、正則指的都是同一個概念，那這個概念憑什麼值得占去一整階梯？因為複變分析裡幾乎每一條動人的定理，骨子裡都是一句以「若 f 全純，則……」起頭、在某個驚人之處結尾的話。一個全純函數，被它自身極小的一個樣本就釘死；它的模不可能在內部取得極大值；它的實部與虛部，悄悄地正在解拉普拉斯方程。這些沒有一條源自實可微——它們全都流自我們剛剛揭開的那種剛性。
- 從一個事實出發：f 在某個開集上複可微（全純）。
- 同一個事實，透過冪級數重新表述，便使 f 解析——在每一點附近等於 sum a_n (z - z_0)^n。
- 於是無窮可微、恆等定理、最大模原理、以及調和的實部，全都成了推論，而非新的假設。
所以當你在往後的章節裡碰到「全純」「解析」或「正則」時，別把力氣浪費在區分它們上——它們是同一個概念戴著三頂帽子。把那份力氣花在它們共同承諾的東西上：一個複數導數，向一個開集索求時，是如此強悍的一紙契約，回報給你的是一個冪級數、無窮的光滑性，以及複變分析的整串連鎖反應。接下來兩篇，將兌現這紙契約中的兩塊——把導數看成局部的旋轉與縮放，以及藏在 u 與 v 裡的調和夥伴。