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複數導數，以及它為何如此苛刻

複數導數看起來就是那個熟悉的差商極限——但因為 z 能同時從每一個方向趨近 z_0，這個小小的極限其實比它的實數表親苛刻得多，而一旦達成，函數就會變得好得幾乎令人難以置信。

同一個極限，為平面而寫

你早已認識導數是斜率的極限：每單位輸入帶來多少輸出變化，靠著把一小步縮成零而求得。複數導數用的是一模一樣的公式。我們作出差商 (f(z_0 + h) - f(z_0)) / h，只是現在 z_0 與步長 h 都是複數，再讓 h 縮向 0。如果這個比值收斂到某個唯一的複數，我們就稱它為 f'(z_0)，並說 f 在 z_0 可微。寫在紙上，這和微積分毫無分別。

f'(z_0) = lim   ( f(z_0 + h) - f(z_0) ) / h
          h -> 0

here z_0 and h are COMPLEX,
so h -> 0 means h approaches 0 from
any direction in the plane.
公式和實數版完全相同——改變一切的，是『h -> 0』這幾個字。

可是藏在那三個無辜符號 h -> 0 裡的，正是全部的故事。回想上一階梯：一個複數極限唯有當每一個方向的趨近都同意同一個答案時才存在。這裡 h 是個複數步長，所以 h -> 0 表示 h 可以沿實軸縮向零、沿虛軸縮向零、沿任何斜線，甚至螺旋著縮向零。要讓 f'(z_0) 存在，差商就必須收斂到同一個複數，不管 h 走的是那無窮多條回家的路裡的哪一條。

為什麼一個方向不夠

正是在這裡，複可微性與實數導數分道揚鑣，成了苛刻得多的要求。在實數線上，函數只能從左右兩邊趨近，兩條路。在平面上卻有無窮多條，而它們全都得一致——於是方向無關性不再是一種溫和的禮貌，而是嵌進定義本身的一道沉重約束。

我們來看一個函數失敗的樣子。取 f(z) = z-bar，也就是共軛，它把平面對實軸反射。它的差商是 (z-bar_0 + h-bar - z-bar_0) / h = h-bar / h。現在讓 h 沿實軸進來，h = t、t 為實數：那麼 h-bar = t，比值是 t/t = 1。再讓 h 沿虛軸進來，h = i t：那麼 h-bar = -i t，比值是 (-i t)/(i t) = -1。兩個方向，兩個不同的答案——所以極限不存在，z-bar 處處不可微，儘管它作為實映射要多平滑無害就有多平滑無害。

這道要求偷偷強迫了什麼

為什麼堅持所有方向都一致，就把函數釘得這麼緊？只比較兩條路。讓 h 水平進來，h = t 為實數：商趨向 x 方向的變化率，算出來是 u_x + i v_x。讓 h 垂直進來，h = i s：除以 i s 後，商趨向 (u_y + i v_y) / i = v_y - i u_y。導數存在的必要條件，就是這兩者相等，把實部對實部、虛部對虛部地配起來，便得到 u_x = v_y 與 u_y = -v_x。

把那兩個極限設為相等，實部對實部、虛部對虛部，就得到 u_x = v_y 與 u_y = -v_x 這一對。這兩條關係就是著名的柯西-黎曼方程，而我們剛剛看到它們是複數導數存在的必要條件。它們是下一篇的核心，所以這裡不把它們挖盡；眼下的重點是，那個看似謙遜的請求「讓每個方向都一致」，瞬間就把實部 u 與虛部 v 綁在一起。你再也不能獨立地挑選 u 與 v——定下一個，另一個就被大大限制了。這份綁定，正是接下來每一個奇蹟的源頭。

同一個數的兩張臉：振扭

當導數確實存在時，它是一個單一的複數 f'(z_0)，而複數總帶著一個幾何意義：乘上它，就是旋轉加伸縮。於是一個複可微映射，在 z_0 附近極近處來看，就像乘上 f'(z_0) 一樣——它把每一支從 z_0 出發的小箭頭旋轉 arg f'(z_0) 的角度，並伸縮 |f'(z_0)| 的倍率，而且對所有方向一視同仁。這正是你以 a z 認識過的旋轉伸縮映射，如今作為任何可微 f 的局部圖景登場。

Needham 給這個局部作用取了個好記的名字：振扭（amplitwist）——一次放大（被 |f'| 拉伸）與一次扭轉（被 arg f' 旋轉）的孿生。方向無關性為何要緊，至此一目了然：平面的一小片要被送得讓每個方向都被放大、扭轉同樣的量，唯一的辦法，恰恰就是有單一複數 f'(z_0) 統管整個鄰域。這正是為什麼，在 f'(z_0) 不為零之處，我們能把這類映射稱為保角（共形）的。振扭的完整圖景留到第四篇細畫。

全純，以及如此的回報

一個函數若不只在一點、而是在某個開區域的每一點都複可微，我們就說它在那裡是全純的（holomorphic）。「開區域」這幾個字很要緊：全純說的是在整整一小片鄰域裡可微，能朝各個方向擺動，絕不只是在一條曲線上或一個孤立點上。（當這件事在整個平面成立時，函數還能再贏得整函數的頭銜——多項式與 e^z 就是招牌例子。）

現在來看那筆讓昂貴入場費值回票價的回報。在實微積分裡，一個函數可以只可微一次，接著它的導數就坑坑疤疤、不再可微——一個導數幾乎買不到下一個的任何消息。在複數世界裡卻恰恰相反，而且驚人地相反：若 f 在某區域全純，它在那裡就自動可微無窮多次，更甚者，它在區域內任一圓盤上都等於自己的收斂冪級數 sum a_n (z - z_0)^n。一個複數導數，悄悄地把它們全部、外加一條泰勒級數，免費奉送給你。

檢驗函數的可靠流程

把這些湊在一起，就是每當一個新函數落到你桌上、你想知道它是否可微時會拿來用的流程。它把一個抽象的極限，化成具體的偏導數運算——正是你在上一階梯練過的拆成 u 與 v，如今真正派上用場。

  1. 寫下 z = x + i y，把 f 展開成實部與虛部，f = u(x, y) + i v(x, y)。
  2. 算出四個偏導數 u_x、u_y、v_x、v_y。
  3. 檢查柯西-黎曼方程 u_x = v_y 與 u_y = -v_x，並記下它們確切在哪裡成立。
  4. 確認那四個偏導在那些點附近連續——那麼 f 在該處複可微，且 f'(z) = u_x + i v_x。

拿 f(z) = z^2 來跑一遍，你先前已求出它的部分為 u = x^2 - y^2 與 v = 2 x y。那麼 u_x = 2x = v_y，u_y = -2y = -v_x：柯西-黎曼處處成立，偏導都是多項式因而連續，於是我們讀出 f'(z) = u_x + i v_x = 2x + i (2y) = 2z。熟悉的冪法則存活了下來，z^2 在整個平面上可微——其實是整函數。對照先前的 z-bar：那裡 u = x、v = -y，給出 u_x = 1 但 v_y = -1，所以柯西-黎曼處處失敗，印證了 z-bar 處處不全純。手握這套流程，你已準備好在下一篇正面迎戰柯西-黎曼方程。