平均化，這次只對實部
在柯西公式那一鞍級裡，你見過全純函數 f 的平均值性質：站在圓的圓心 z_0 上，f(z_0) 恰是 f 沿圓周一圈的平均。本鞍級的頭兩講已教你：全純函數 f = u + i v 的實部 u 是一個調和函數——拉普拉斯方程 u_xx + u_yy = 0 的解——而且，給定這樣一個 u，你能造出它的調和搭檔 v。下一個自然的問題是：當我們把 v 丟掉、只留下那個實的、有物理意義的量 u 時，平均化定律還活著嗎？它活得好好的，而這份存活，正是本講一切的引擎。
要看出這點，取全純的平均值恆等式 f(z_0) =（1/(2 pi)）乘以 f(z_0 + r e^(i theta)) 對 theta 從 0 積到 2 pi，然後乾脆只讀出實部。一個平均的實部，就是各實部的平均，所以 u(z_0) 等於 u 繞圓周的平均。這個以高斯命名、歸功於高斯的同一陳述，就是高斯平均值定理，即調和平均值性質：一個調和函數在圓盤圓心的值，是它邊界值的平均。關鍵在於：這並不偷偷需要一個全純搭檔——任何滿足拉普拉斯方程的函數都服從它，無論它是不是誰的實部。
Gauss's mean-value theorem (u harmonic on and inside the circle of radius r about z_0):
u(z_0) = (1 / (2 pi)) * integral_0^{2 pi} u(z_0 + r e^(i theta)) d theta
The center value is the plain average of the ring values -- for EVERY radius r that fits.
There is a solid-disk version too: u(z_0) is also the area-average over the whole disk.為何穩態金屬板沒有內部熱點
這裡有一幅讓該定律顯得無可避免的物理圖像。把 u 想成一塊薄金屬板的穩態溫度——熱已流完，沒有任何地方還在升溫或降溫。最熱的那一點，能坐落在內部某處嗎？直覺上不行：一個微小的內部山峰會比它所有鄰居都熱，於是熱會順著溫度梯度從它身上奔流而去，那座山峰便會熔回它的四周。一個真正的穩態，容不下一座孤立的內部頂峰。平均值定律，正是把這份直覺化成了算術——一個等於其圓周平均的圓心，不可能凸出於那道圓周之上。
現在把直覺變成一個乾淨的論證。設 u 在某區域上調和，並在某個內部點 z_0 取得它最大的值 M，即 u(z_0) = M。在繞 z_0 的任一小圓上，每個邊界值都至多是 M。但平均值性質說 u(z_0) 是那些邊界值的平均，而一堆全都至多為 M 的數，其平均要等於 M，唯有當其中每一個都等於 M 時才行。於是 u 在那整個圓周上都等於 M，再掃過所有小半徑，便在繞 z_0 的一整個小圓盤上都等於 M。那座山峰根本不是山峰；它是一片高原。
那片高原接著會擴散。使 u = M 的點集是閉的（u 連續），而依剛才的論證又是開的（在任一這樣的點周圍，u 在一整個圓盤上都等於 M）。在連通區域上，既開又閉的集合只有空集與全集，所以若最大值在內部任何一處被取得，u 在整個區域上就是常數 M。其逆否命題：一個非常數的調和函數，在內部任何地方都取不到它的最大值。這就是調和函數的極大值原理。
最小值也是——而這正是與 |f| 真正的差別
對最小的值跑同樣的論證，你便免費得到最小值原理：一個非常數的調和函數，它的最小值也只在邊界上取得。漂亮的看法是：若 u 調和，則 -u 也調和，而 -u 的最大值就是 u 的最小值。所以一個在有界區域上調和、連續到邊界的函數，它最大與最小的值都在邊界圈上取得——內部被夾在邊緣所定下的兩個極值之間。穩態板上最冷與最熱的點，都住在它的邊緣上。
不過這兩條原理並非對手，而是表親。若 u 調和且恆不為零，你可以把它指數化成某全純函數的模，從模的界回收出調和的界——反過來，任何全純函數 f 的實部都調和，所以調和極大值原理是兩者中較靈活的那個陳述。下回你再見到 |f| 被禁止擁有山峰時，記得幕後其實是 log|f|（在 f 的零點之外是一個調和函數）在做平均化。
回報：狄利克雷問題至多只有一個答案
極大值原理不只是一幅漂亮的圖；它是讓位勢論「適定」的工具。回想框住整個鞍級的狄利克雷問題：在區域 D 的邊緣畫上連續邊界資料 g，求內部那個在邊界上吻合 g 的調和函數 u。這樣的 u 是否「存在」是另一個、更難的問題——下一講的帕松積分會在圓盤上回答它。但極大值原理三行就解決了「唯一性」，甚至在任何解被造出來之前。
- 設有兩個解 u_1 與 u_2，都在 D 上調和、連續到邊界，且在邊界上都等於同一份資料 g。作它們的差 w = u_1 - u_2；因為拉普拉斯方程是線性的，w 也調和。
- 在邊界上 w = g - g = 0。依極大值原理，w 在閉區域上的最大值在邊界取得，而那裡是 0；所以內部處處有 w <= 0。
- 依最小值原理，w 的最小值也在邊界取得，而那裡是 0；所以內部處處有 w >= 0。
- 被 w <= 0 與 w >= 0 夾住，差 w 恆為 0，所以 u_1 = u_2。兩個有相同邊界資料的解必定重合——答案若存在，便是唯一的。
誠實的界限與接下來的路
在繼續之前有兩點誠實的提醒。其一，這條原理的邊界版本——極值在邊緣——需要區域是有界的且 u 連續到它的邊界；在無界區域上，一個調和函數可以朝無窮遠處增長而逃出此規則，這正是為何對於帶狀域與半平面，存在像 Phragmen-Lindelof 原理這樣更鋒利的替代品。其二，「沒有內部最大值」並不意味「沒有內部臨界點」：u 的一個鞍點——曲面往一個方向下凹、往另一個方向上凸——是完全被允許的；被禁止的是真正的局部極大或極小，一個同時高於（或低於）它所有鄰居的點。
也值得標記一下這條道理伸得多遠、遠出平面之外。平均值性質與極大值原理對任何維度的調和函數都成立，並撐起了橫跨數學與物理的橢圓型偏微分方程理論——你在這裡學的二維情形，是通往那一切的、視覺化的複分析門戶，且附帶一份好處：在這裡，調和函數恰恰就是全純函數的實部。
唯一性既已保住，鞍級現在轉向存在性與精細化。下一講會用帕松積分把那個缺席的解明確造出來——一個邊界值的加權平均，產出圓盤內部的調和函數。再往前，兩件更鋒利的工具從同一片平均化的土壤裡長出：哈納克不等式，它說一個正的調和函數不可能在一處巨大、在隔壁渺小；以及施瓦茨反射原理，它藉由鏡射把一個調和或全純函數越過一道直邊延拓出去。它們全都回溯到你今天證明的那條定律：圓心是圓周的平均。