從圖形到運動
上一篇我們採用了映射觀點：複變函數不是一張圖形，而是一台把整個 z 平面拾起、放到 w 平面去的機器。現在我們讓這台機器在幾個函數上動起來，其他一切都由它們搭建而成。做法很簡單——取一個熟悉的形狀（一條直線、一個圓、一張方格網），把它送進去，看另一端出來的是什麼。
有一個記帳習慣能讓每張圖都算得出來。把輸入寫成 z = x + i y、輸出寫成 f = u + i v，其中 u(x, y) 與 v(x, y) 是兩個雙實變數的實函數。於是單一個複數規則暗中攜帶了兩個實數規則；要找出它們，只需算 f(x + i y) 再把實部與虛部分開。這正是接回你早已熟悉的多變數微積分的橋樑。
f(z) = u(x, y) + i v(x, y) f(z) = z^2 : u = x^2 - y^2 , v = 2 x y f(z) = z-bar : u = x , v = -y f(z) = 1/z : u = x/(x^2+y^2), v = -y/(x^2+y^2)
溫和的映射：滑動、旋轉、鏡射
先從最平靜的運動說起。平移 z + a 把每一點都以同一個向量 a 滑開——沒有旋轉、沒有拉伸、沒有翻轉。以原點為心、半徑 3 的圓變成以 a 為心的全等圓；一個正方形原封不動地滑過去。平移是剛體運動，除非 a = 0，否則沒有不動點。
乘以一個常數，即映射 a z，一次做兩件事，而且正是複數乘法本身的幾何意義。寫 a = r e^(i alpha)；那麼 a z 把每個模都乘以 r（拉伸或收縮），並把每個輻角都加上 alpha（繞原點旋轉）。舉例來說，乘以 i 就是一次乾淨的 90 度旋轉，因為 i = e^(i pi/2)。由於拉伸倍數與旋轉角到處都一樣，a z 是共形映射的原型——它保持曲線之間的角度。
現在來個狡猾的。反射 z-bar 像鏡子一樣把平面沿實軸翻折：x + i y 去到 x - i y。它保持距離與角的大小，乍看幾乎和旋轉一樣溫順——但它反轉角的方向，把逆時針的掃動變成順時針。把 z-bar 記在心裡：它是「作為平面實映射完全平滑、卻處處不可複導」這件事最乾淨的例子，這個區別接下來兩篇會說得更鋒利。
彎折者：z^2 與 1/z
平方映射 z^2 是第一個真正彎折平面的函數，而極式讓它一目了然：若 z = r e^(i theta) 則 z^2 = r^2 e^(i 2 theta)。它把每個角加倍、把每個距離平方。驚人的後果是它把平面繞著自己包了兩圈——讓 z 掃過上半平面（角度 0 到 pi），像就已覆蓋整個 w 平面（角度 0 到 2 pi）。讓它跑遍整個平面，每個非零目標都被打中兩次，因為 z 與 -z 平方相同。
反演 1/z 把平面裡外翻轉：用極式 1/z = (1/r) e^(-i theta)，所以它把距離取倒（遠點拉近、近點甩遠，單位圓原地不動），並沿實軸反射。它的招牌是把直線與圓送到直線與圓——只要你同意把直線看成過無窮遠點的圓。一條鉛直線可以變成過原點的圓；單位圓的內部與外部互換位置。
有一個必須誠實面對的小麻煩：1/z 在 z = 0 處無定義，所以作為平面到平面的映射，它的定義域不含原點。乾淨的修補是添上一個無窮遠點，在黎曼球面上工作；在那裡 1/z 對調 0 與無窮，成為整個球面上整齊的一對一映射。平移、旋轉縮放、反演合起來，正是你日後會遇到的每一個莫比烏斯變換的基本積木。
手算一個映射
這些圖並非魔法；你是算出來的。要看一個映射對某條曲線做了什麼，就把曲線推過規則再化簡。下面這套程序把「不知道它會去哪」變成確切的答案，以曲線 Re(z) = 1/2 在 1/z 下為例。
- 為像取個變數名。設 w = f(z)，這裡 w = 1/z，再把規則反解，用 w 表示 z：z = 1/w。
- 把曲線寫成 z 的方程式。這條線是 Re(z) = 1/2，也就是 x = 1/2。
- 代入 z = 1/w 並分成實部與虛部。設 w = s + i t，得 z = (s - i t)/(s^2 + t^2)，故 Re(z) = s/(s^2 + t^2)。
- 套上方程式再化簡。令 s/(s^2 + t^2) = 1/2 得 s^2 + t^2 = 2s，即 (s - 1)^2 + t^2 = 1——這是圓 |w - 1| = 1，且過原點。
- 驗算一個點。點 z = 1/2（在線上）映到 w = 2，落在那個圓上。圖與代數一致。
若改用極式，同一套食譜也能對付 z^2：圓 |z| = R 映到 |w| = R^2，射線 arg z = theta 映到射線 arg w = 2 theta。挑對座標——1/z 用直角座標、z^2 用極座標——就是這門技巧的一半。
從每個方向趨近
看著映射搬動形狀，也讓「複極限」必須是什麼意思變得更清晰。說 f(z) 在 z 趨於 z_0 時趨於 L，是熟悉的 epsilon-delta 想法——L 周圍任何半徑 epsilon 的目標圓盤，都能藉由把 z 取在 z_0 周圍某個半徑 delta 的圓盤內而達到——以模 |z - z_0| 與 |f(z) - L| 來衡量。
但 |z - z_0| < delta 圈出的是一整個圓盤，不是一段區間。所以 z 可以從任何方向趨近 z_0——沿實軸、沿虛軸、沿一條螺線——而同一個 L 必須在每一條路徑上都達到。在實數線上你只有左與右要協調；在平面上有無窮多條進來的路，而答案不能取決於你走哪一條。若兩條趨近路不一致，極限就根本不存在。
一旦極限乖了，連續性就以顯然的方式跟上，並沿著 u + i v 的線索分裂：f 在某點連續 恰當其 u 與 v 都連續（作為尋常實函數）。這個乾淨的等價——以及這些映射所作用的曲線與路徑——是本級接下來要接續的線頭。這裡的教訓是幾何的：你現在已能一眼看出這五個基本映射對平面做了什麼。