加法與乘法：把同類項收齊就好
在第一篇導引裡，你認識了虛數單位 i，這個唯一的新符號滿足 i^2 = -1，由此得到複數 z = x + i y。在這裡，我們做最日常的事：拿它們來計算。好消息是，你早就會了。把 x + i y 完全當成代數式「x 加上 i 乘以 y」，遵守平常的規則，只在最後一步才動用那個唯一的新事實 i^2 = -1 來收尾。
加法是輕鬆的那一半：把實部與虛部分別相加，就像把「3 顆蘋果 + 2 顆橘子」和「1 顆蘋果 + 5 顆橘子」併起來一樣。所以 (3 + 2i) + (1 + 5i) = 4 + 7i。乘法就是展開——把每一項都乘開——然後兌現 i^2 = -1。對 (3 + 2i)(1 + 5i)，你會得到 3 + 15i + 2i + 10 i^2，而由於 10 i^2 = -10，整個式子收斂為 -7 + 17i。這個小小的舞步，就是複數四則運算的全部。
(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d) (a + i b) (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c)
共軛：把 i 的符號翻過來
給定 z = x + i y，它的共軛 z-bar 就是 x - i y：保留實部，把虛部的符號翻過來。這就是複共軛的完整定義。從幾何上看——下一篇導引會好好把它畫出來—— z-bar 是 z 對實軸的鏡像。共軛兩次便回到原點：z-bar 的共軛又變回 z。
為什麼要費這個事？因為共軛正是把虛的化為純實的那件工具。把 z 與 z-bar 相加，虛部互相抵消：z + z-bar = 2x，恰是實部的兩倍。把它們相減，實部互相抵消：z - z-bar = 2 i y。而最妙的是，把 z 與 z-bar 相乘，奇蹟就出現了——交叉項消失，剩下一個非負的實數。
模：給 z 一個誠實的大小
乘積 z 乘以 z-bar 恰好是 x^2 + y^2——一個實數，永不為負。它的平方根就是模，記作 |z| = sqrt(x^2 + y^2)。模是複數到原點的距離，是數對 (x, y) 那個誠實的二維畢氏定理。對 3 + 4i 來說，它是 sqrt(9 + 16) = 5。於是我們可以把上一節打包成一個乾淨的恆等式：z 乘以 z-bar 等於 |z|^2。
模具有乘法性——|z w| = |z| |w|——這是你將在第四篇導引遇到的一個漂亮幾何事實的代數投影：複數相乘，長度相乘（角度相加）。至於加法，長度只滿足一個不等式，也就是三角不等式 |z + w| <= |z| + |w|：從 0 直接跳到 z + w，絕不會比先走到 z 再走到 w 更遠，正如沿三角形兩邊走，絕不會比第三邊更短。
除法：乘上共軛
現在一切都得到了回報。要怎麼把一個複數除以另一個，譬如 (3 + 2i) / (1 + 2i)？分母帶著虛部，這很彆扭——我們希望底下是個單純的實數。訣竅是把分子與分母同時乘上分母的共軛。因為 (1 + 2i)(1 - 2i) = |1 + 2i|^2 = 5，底部就化為實數，整個商也變成一個普通的 x + i y。這正是複數除法的標準做法。
- 把商寫成分數：(3 + 2i) / (1 + 2i)。
- 把分子與分母同乘以分母的共軛 1 - 2i。
- 分母變成 (1 + 2i)(1 - 2i) = 1 + 4 = 5，一個實數。
- 分子：(3 + 2i)(1 - 2i) = 3 - 6i + 2i - 4 i^2 = 7 - 4i。
- 把各部分都除以 5：答案是 7/5 - (4/5) i。
特別地，任何非零 z 的倒數是 1/z = z-bar / |z|^2——共軛除以長度的平方。這正說明了為何除了 0 以外，每個複數都有反元素，也正是這一點讓複數構成一個真正的體，一個可以自由相除的數系。唯一的例外與實數線上相同：你依然不能除以零，因為 |0| = 0，沒有東西可供相除。
這條路通往何方
請留意我們沒有用到什麼：任何圖。以上全是純代數，而且像自動駕駛一樣運轉。但光靠代數，會藏起這些動作的意義。為什麼乘上共軛是一次反射？為什麼乘法會縮放長度？下一篇導引裡，我們把 z = x + i y 放到平面上，看著加法化為向量加法、共軛化為鏡像翻轉；幾何會讓今天所有的恆等式顯得理所當然，而不只是運氣好。
接著便是真正的回報。用長度與角度來書寫 z，會引出極式，乘法搖身變成旋轉與縮放，而歐拉公式則把整個故事與三角學緊緊扣在一起。你今天算出的那個謙遜的 |z|，會在那裡以半徑的身分重現，而共軛則成為角度的變號。現在先把這四則運算練熟，前方等著你的幾何便會輕輕落地。