你聽過的那套說法，以及它為何是錯的
通常的童話是這樣講的：數學家想解 x^2 = -1，發現沒有實數行得通，於是乾脆發明一個，叫它 i。如果故事真就到此為止，複數不過是個無聊的玩具。畢竟 x^2 = -1 沒有實數解是有充分理由的——任何實數，不論正負，平方後都是非負的。一個講道理的人大可聳聳肩說：「那這方程式就無解吧」，就像我們說 x + 1 = x 無解一樣。沒人會為了拯救 x + 1 = x 去發明一個數。
所以誠實的問題不是「我們能不能假裝負一的平方根存在」，而是我們究竟有沒有被逼到非接受不可。答案是肯定的，而且這股逼迫來自一個誰也沒料到的方向：不是來自那些根本沒有實數答案的方程式，而是來自那些我們早就知道實數答案明明存在的方程式。這才是值得一講的故事。
卡爾達諾的三次方程：我們再無退路的那一刻
在十六世紀，義大利的代數學家找到了三次方程式根的公式——它類似於二次方程式的求根公式，只是帶著立方根與層層套疊的平方根。這就是卡爾達諾公式，它運作得相當漂亮，唯獨有一處尷尬。有時一個三次方程式擁有三個你看得到、畫得出、也驗證得了的、完全真實的實根——可是這條公式偏偏只能繞道穿過負數的平方根，才能抵達它們。
看看 x^3 = 15 x + 4。你可以手算驗證 x = 4 是一個根：4^3 = 64，而 15(4) + 4 = 64。這個答案一點也不虛幻。然而卡爾達諾公式卻把它端出成兩個立方根之和，而那些立方根裡頭，正坐著 -121 的平方根。如果你斷然拒絕寫下 sqrt(-121)，你就無法把公式這台機器轉起來——可它正在算的那個答案，明明是老老實實的整數 4。負數平方根不是終點，它們是路。拒絕走這條路，你就到不了一個你早已知道千真萬確的地方。
複數究竟是什麼
一旦我們接受了滿足 i^2 = -1 的 i，一個複數不過就是形如 z = x + i y 的式子，其中 x 與 y 是平常的實數。我們稱 x 為它的實部，記作 Re z；稱 y 為它的虛部，記作 Im z。請特別留意：z = 3 + 5 i 的虛部是實數 5，而不是 5 i。複數並不比「帶著一條特殊乘法規則的一對實數」更神秘。
於是算術便自動跟著成形。相加時，分別把實部與虛部各自合併。相乘時，就像中學代數那樣把括號展開，再用 i^2 = -1 把那個唯一需要它的項收掉。這裡沒有任何新花招；你只不過獲准在 i^2 出現時，隨時把它化簡為 -1 而已。
(a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i (b + d)
(a + i b) * (c + i d) = (a c - b d) + i (a d + b c)
example: (2 + 3 i)(1 - i) = 2 - 2 i + 3 i - 3 i^2
= 2 + i + 3 = 5 + i這筆紅利：一切都能分解
付出了接受 i 的代價之後，我們收回一筆巨大的回報——遠比那條逼我們就範的三次方程式來得豐厚。在實數範圍內，有些多項式能完全分解，有些（像 x^2 + 1）則死不肯就範。可是在複數範圍內，再也沒有任何頑抗者。代數基本定理說：每一個係數為複數、次數為 n 的多項式，連同重數一起計算，恰好有 n 個複數根。我們只添了一個新的數 i，作為交換，每一條多項式方程式都變得可解。這是一筆驚人划算的交易。
有個微妙之處值得誠實點出：代數基本定理是一條定理，並不是 i 定義的一部分。我們造出 i 並不是為了讓每個多項式都能分解——我們造它只是為了讓一個平方根乖乖聽話——而那「處處可分解」的性質，是附帶白送的禮物。複分析有許多地方都帶著這股味道：你只授予一張看似不起眼的通行證，緊接著便湧出一連串強到不講道理的後果。
把代數變成幾何的那幅圖像
接下來這個想法，讓整門學問都唱起歌來，後面幾篇也會把它完整鋪陳開。由於 z = x + i y 是由兩個實數構成的，我們便能把它畫成點 (x, y)——實部沿東西方向走，虛部沿南北方向走。這就是複平面。剎那間，複數不再是個古怪的符號，而是一個位置、一支從原點出發的箭。把兩個複數相加，就成了把它們的箭首尾相接，正是你早已熟悉的向量平行四邊形法則。
那乘法呢？魔法就藏在那裡，而這正是本級階梯刻意要解開的懸念。事實證明，乘上一個複數，會把整個平面旋轉並縮放，而旋轉的角度只是單純地相加。正是這一件事，讓歐拉公式 e^(i theta) = cos theta + i sin theta 把複數與三角學綁得如此緊密。現在看著它像個謎也別擔心——點出這個懸念正是目的所在。等爬完這一級，你就會用「旋轉平面」來把複數相乘，而那將顯得理所當然。