從劉維爾到一個響亮得多的論斷
到目前為止，你已經有一整套衡量整函數的機器：階與型說明它增長得多快，詹森公式把這增長與零點的位置綁在一起，而哈達瑪定理則用零點與一個多項式指數，把有限階的函數重建出來。這一切都關於大小——f 能變得多大。皮卡定理問的是個更奇怪的問題：不是多大，而是 f 取到哪些值？ 答案竟比任何人從實數線上所能猜到的要剛硬得多。
回想你已經知道的暖身。劉維爾定理說有界的整函數必為常數——等價地說，非常數的整函數無法迴避一整個圓盤的值，因為若迴避一個圓盤，它就會遠離某塊區域，於是你能把某個倒數函數界住。這已經夠寬鬆了：例如 e^z 是非常數整函數，而它的值確實填滿了平面、只缺一個點。但劉維爾只禁止漏掉一整個鄰域。會不會有某個巧妙的函數，恰好漏掉比方說兩個孤立的點、而別的都取到？
皮卡（Charles Picard）在 1879 年的答案斬釘截鐵：不行——而證明它需要遠遠超出劉維爾的想法。小皮卡定理陳述如下：一個非常數的整函數，在複平面上最多漏掉一個值。漏掉兩個值是不可能的。漏掉一個值是絕對的上限，而它確實可能發生。本篇的全部戲劇張力，就活在「一」與「二」之間的那道縫隙裡。
你獲准漏掉的那一個值
那個被漏掉的單一值，不是定理勉強承認的漏洞；它是真實的、而且一眼可見。取 f(z) = e^z。它是整函數且非常數。它的值是一切形如 e^x (cos y + i sin y) 的數，掃出開區間 (0, 無窮) 裡的每個模長 e^x、以及每個輻角。那正是整個平面除了 0——因為指數函數永不為零。所以 e^z 恰好漏掉值 0，而其餘一切都取到，往往是無窮多次。這裡的例外值是 0；對 e^z + 5 來說，它會平移成 5。
整函數從不取到的一個值，稱為例外值（或皮卡例外值）。小皮卡說：最多存在一個。注意這如何疊在你先前的結果之上。劉維爾禁止漏掉一個圓盤；開映射定理一旦知道 f 在某鄰域上非常數，就禁止漏掉像的任何內點；而皮卡把這磨利成關於整個平面的整體陳述——非常數整函數的像，要嘛是整個平面，要嘛是平面去掉單獨一個點。
為何漏掉兩個值是不可能的
以下是證明背後的點子，用最能揭示本質的形式呈現。為了反證，假設一個非常數整函數 f 漏掉兩個相異的值；對目標作一個莫比烏斯變換後，不妨說它漏掉 0 與 1。那麼 f 把整個平面映入二次穿孔的平面 C 去掉 {0, 1}。妙處在於：這個小小的穿孔區域帶有一種隱藏的雙曲幾何——它具有一個雙曲度量，並且按單值化定理，被單位圓盤所覆蓋。於是 f 提升成一個從單連通平面到單位圓盤的映射。
但一個從整個平面映入單位圓盤的全純映射是有界的，於是由劉維爾它必為常數——因此原來的 f 也是常數，矛盾。整副骨架就是這樣：漏掉兩個值把函數困進一個雙曲的目標裡，雙曲性把它界住，而劉維爾把它了結。 用來單值化 C 去掉 {0, 1} 的古典模函數 lambda 是這裡的主力，但你不需要它的公式就能感受到論證的形狀。獲准的那單一個穿孔（如 e^z，只漏掉 0）只讓目標是一次穿孔的平面，那不是雙曲的，所以這個陷阱永遠不會彈起。
大皮卡：本性奇點附近的狂野
小皮卡是關於整函數的整體陳述。大皮卡定理是它的局部、更銳利的孿生兄弟，也是該讓你毛骨悚然的那一個。它關乎在本性奇點附近的行為。回想你在羅朗級數那一階建立的孤立奇點階梯：可去奇點那裡 f 保持溫馴、極點那裡 |f| 一路奔向無窮、以及這兩者都不發生的本性情形。
你早先見過卡索拉蒂-魏爾斯特拉斯定理：在本性奇點附近，f 任意逼近每一個複數值。這已經夠詭異了——那些值是稠密的。大皮卡把「逼近」升級成「等於，且無窮多次」：在本性奇點的每個鄰域裡，f 取到每一個複數值（至多有一個例外），且各取無窮多次。 不是逼近——是真的取到，而且取個沒完。那單一個獲准的例外，與小皮卡裡的逃生口是同一種東西。
用那個典型的怪物把它具體化：f(z) = e^(1/z) 在 z = 0 附近。當 z 螺旋般趨向原點，1/z 飛奔到無窮，而 e^(1/z) 做出任何實變函數都做不到的事。挑任何非零的目標 w；你能恰好解出 e^(1/z) = w，無窮多次，而那些解 z 在 0 處堆積。唯一的例外又是 0——e^(1/z) 永不為零。所以在原點周圍任何一個微小的圓盤裡，這個函數取到 7、取到 -2、取到 i、取到一百萬，每個都無窮多次，卻從不曾等於 0 一回。
near an essential singularity z_0 : f takes EVERY value w in C (with at most one exception) and takes each such w infinitely often, in EVERY neighbourhood of z_0, however small. example: e^(1/z) at z_0 = 0 -> omits only 0
兩個皮卡定理如何契合——以及其後是什麼
這兩個定理是同一個想法在兩種尺度下的呈現，而連結它們的是無窮遠點。一個不是多項式的非常數整函數，在無窮遠處有一個本性奇點——餵給它代換 w = 1/z，e^(1/z) 在 0 處的狂野就變成 e^z 在無窮遠處的狂野。在那個本性奇點套用大皮卡：在無窮遠的每個鄰域裡（也就是每個大圓盤之外），函數取到除至多一個外的所有值、且各無窮多次。把那個被排除的圓盤縮小，你就恰好還原出小皮卡對整個平面的判決。小皮卡，就是在無窮遠處閱讀的大皮卡。
有一個誠實的但書，使這些陳述不致越界。多項式是整函數且滿射——一個 n 次多項式恰好取到每個值 n 次——所以那條「至多一個例外」的子句它們從不用上；它們在無窮遠處有的是普通的極點、而非本性奇點，故大皮卡在那裡根本不適用。戲劇屬於超越整函數，那些不是多項式的函數。對它們而言，無窮遠處是真正本性的，皮卡的全副威力才得以發揮。
- 判斷 f 是否為多項式。若是，它就是滿射的，皮卡定理沒有新增什麼——到此為止。
- 若 f 是超越整函數，小皮卡說它的像是整個平面去掉至多一個例外值——找出那個值（若有，它就是某個 e^g 始終達不到的那一個）。
- 要探查 f 在某個狂暴爆掉之處附近的行為，先把它認定為本性奇點，再援用大皮卡：除一個外的每個值，各無窮多次，在每個鄰域裡。
皮卡告訴你被漏掉的值數目是零或一，卻對其餘的值被取到的頻率、以及這頻率與增長的關係，保持沉默。那種定量的細化，是本階最後一篇的主題：波雷爾定理已經藉由把 f = w 的解的密度與階綁在一起，把皮卡磨利；而內萬林納理論接著建起一整套會計系統——一條「第一與第二基本定理」——在其中皮卡那一個例外，化作一份嚴格、可數的預算。皮卡是定性的驚雷；內萬林納則是解釋天氣的那本帳簿。