阿達瑪因式分解定理

魏爾斯特拉斯給出乘積；阿達瑪使其精確

在乘積那一階梯，你遇過一個了不起的承諾：魏爾斯特拉斯因式分解定理說，任何整函數 f 都能寫成一個攤布在它零點上的乘積，就像多項式一樣——每個零點配一個因式，重數也對。它的樣子是 f(z) = z^m e^(g(z)) 乘上一個由基本因式組成的無窮乘積，其中 z^m 吸收掉原點處可能的零點，乘積承載其餘所有零點，而 e^(g(z)) 是某個整函數 g 的指數，它從不為零，因此能藏住任何不帶零點的擺動。這是一個漂亮的存在性定理——但它很鬆。魏爾斯特拉斯允許每個基本因式想帶多少修正項就帶多少，也允許 g 是任意整函數。兩個外表迥異的乘積，都可以是同一個 f 合法的魏爾斯特拉斯分解。

阿達瑪定理就是那道收緊。它問了一個更銳利的問題：如果我們已經知道 f 增長得多快——它的階 rho，也就是第 1 篇裡那個衡量 |f| 如何像 e^(r^rho) 般膨脹的有限數——那麼增長所逼出的最精簡的分解又是什麼？答案出奇地嚴整。有限階一口氣釘死兩件事：每個因式必須帶多少修正項（不多也不少），以及那個神祕的 g 只能是一個有界次數的多項式。各行其是的局面坍縮成一張藍圖。那道坍縮正是阿達瑪因式分解定理的全部內容，它也是從「f 有增長 rho」通往「f 長得就像這個明確的乘積」的橋。

為什麼天真因式會失敗，以及基本因式這帖修補

要看出為什麼根本需要修正，不妨試試那個天真的做法。給定一串奔向無窮的零點 z_1, z_2, ...，你很想寫下 (1 - z/z_n) 的乘積，每個因式都老老實實地在某個 z_n 處消失。但回想乘積那一階梯的避風港規則：(1 + a_n) 的乘積要漂亮地收斂，唯有當 sum |a_n| 有限時。這裡 a_n = -z/z_n，所以收斂需要 sum 1/|z_n| 有限——零點必須稀疏得夠快。可是對許多整函數而言，它們並不夠快：sin(pi z) 的零點落在每一個整數上，而 sum 1/|n| 是調和級數，它發散。那個天真的乘積根本就不收斂。

魏爾斯特拉斯的修補就是基本因式 E_p。你不再用光禿禿的 1 - z/z_n，而是把它乘上一個短泰勒多項式的指數，這個多項式經過挑選，專門用來消掉那些危險的低次項。具體地說 E_p(w) = (1 - w) 乘上 exp(w + w^2/2 + ... + w^p/p)，你把 w = z/z_n 餵進去。那個指數被精心設計，使得取對數之後，log E_p(w) 從 w^(p+1) 項才開始——它的展開約莫是 -w^(p+1)/(p+1)，比原本的 -w 是小得多的偏差。整數 p 是這個因式的虧格，也就是你花掉的修正項數目。藉由把 p 取得夠大，你把偏差縮到它們的模之和收斂為止，於是乘積得救了。

naive factor:     1 - z/z_n            log ~  -(z/z_n)          deviation ~ 1/|z_n|     (may diverge)

elementary factor E_p(z/z_n):

      E_p(w) = (1 - w) * exp( w + w^2/2 + ... + w^p/p )

      log E_p(w)  =  -w^(p+1)/(p+1) - w^(p+2)/(p+2) - ...      starts at power p+1

  so   |1 - E_p(z/z_n)|  ~  |z/z_n|^(p+1)      deviation ~ 1/|z_n|^(p+1)   (converges for p large enough)

典範乘積與它的虧格

魏爾斯特拉斯允許你為每一個因式各挑一個可能不同的虧格 p_n，這既浪費又難看。阿達瑪的第一項節約，是挑出一個對所有因式同時管用的虧格 p——也就是使 sum 1/|z_n|^(p+1) 有限的最小整數 p。有了這單一個 p，E_p(z/z_n) 對所有零點的乘積就收斂，它被稱為附屬於這些零點的典範乘積。它是恰好在 f 消失之處消失的、最精簡而誠實的乘積，而那個統一的虧格 p 就是典範乘積的虧格。沒有任何一個因式戴著超過它所需的修正項。

這裡有一條深刻的連結，而它恰恰就是第 2 篇所鋪設的。虧格 p 只取決於零點朝無窮處堆積得多密，而第 2 篇的詹森公式把那個堆積密度化成了一句增長的陳述：f 的階 rho 掌控著 sum 1/|z_n|^s 的收斂——一個階為 rho 的函數，其零點對每個嚴格大於 rho 的 s 都滿足 sum 1/|z_n|^s < infinity。於是虧格本質上就是 rho 的整數部分。具體地說，p 不是 rho 的下取整就是它再減一，而不等式 p <= rho < p + 1（邊界上下浮動）把最小的合法虧格直接綁到增長上。增長決定了零點要求多少修正。

定理本身：零點，加上一個多項式

現在我們可以陳述這份獎賞了。設 f 是有限階 rho 的整函數。那麼 f 分解為 f(z) = z^m e^(P(z)) 乘上它非零零點上的典範乘積，其中 z^m 處理原點處重數為 m 的零點，典範乘積的虧格為 p，而且——這是第二項、也是最令人意外的節約——P 是一個如假包換的多項式，次數至多為 rho。魏爾斯特拉斯那個狂野的、不帶零點的因子 e^(g(z))，先驗上本可以是任意整函數的指數，可是一旦 f 有了有限階，它就被逼降成一個多項式。這就是阿達瑪定理的全部威力：有限增長同時界定了乘積的虧格與剩下那個多項式的次數。

從這兩道界限冒出一個值得命名的數。把 f 的虧格定義為典範乘積的虧格 p 與 P 的次數兩者中較大的那個。阿達瑪的內容於是能壓縮成一個把它和階聯繫起來的不等式：虧格與階相差不到 1，故 genus <= rho <= genus + 1。一個有限階整函數那整副嚴整的骨架——它的零點可以怎樣聚集、又還剩多少指數的自由——被擠在由它增長速率所決定的兩個相鄰整數之間。從單單一個實數 rho 裡能榨出這麼多結構，著實令人驚嘆。

在真實例子上讀出它，以及它的回報

看看這台機器在 e^z 上運轉。它的階 rho = 1，而關鍵在於它沒有零點——exp 從不為零。所以典範乘積是空的（它等於 1），z^m 也不存在，整個分解的內容全都活在 e^(P(z)) 裡。定理承諾 P 的次數至多為 1，而 P(z) = z 確實辦到了：e^z = e^(P(z))，P(z) = z。一切無誤。那個不帶零點的因子被允許恰好大到階所容許的程度，而在這裡，它一肩扛起了整個函數。

現在看 sin(pi z)。它的階也是 1，但它佈滿了零點——每個整數上都有一個。因為 rho = 1，虧格就是 1，所以我們需要虧格為 1 的基本因式 E_1(w) = (1 - w) e^w，才能讓整數上的乘積收斂，而多項式 P 結果是個常數。把 n 處的因式和 -n 處的因式配成一對，那些 e^w 片段就會成對相消，於是典範乘積坍縮成著名的正弦乘積公式 sin(pi z) = pi z 乘上 (1 - z^2/n^2) 的乘積。阿達瑪不只是允許這個漂亮的恆等式——它解釋了為什麼它必然恰好是這個樣子：虧格為 1 的因式是被階逼出來的，而沒有更高次的多項式也同樣是被它逼出來的。

1. 用第 1 篇的增長工具（最大模，或泰勒係數公式）求出 f 的階 rho。
2. 把典範乘積的虧格 p 設為 rho 的整數部分——也就是使 sum 1/|z_n|^(p+1) 有限的最小 p。
3. 用虧格為 p 的基本因式 E_p(z/z_n) 建造典範乘積，每個非零零點配一個，並在前面補上 z^m 以容納原點處的零點。
4. 剩下的因子是 e^(P(z))，且 deg P <= rho；藉由在幾個點上比對 f，或比較對數導數，把 P 釘下來。