詹森公式：成長與零點

詹森回答的那個問題

在上一篇你學會了量一個整函數長得多快：階 rho 抓住了最大模 M(r) = max（在 |z| = r 上）|f(z)| 的指數尺度，而型再把它細分。但成長只是整函數生命的一半。另一半是它的零點——f 在哪裡為零、又有多密？一個 n 次多項式像 r^n 那樣成長，且恰有 n 個零點；這兩個數是同一個 n。那不是巧合，而詹森公式正是背後的律則：對任何全純函數而言，成長與零點都被同一條精確的恆等式鎖在一起。

把這道謎題講得更銳利些。假設 f 是整函數，而你只能在圓 |z| = r 上觀察 |f|——也就是邊界資料。邊界能不能告訴你任何關於藏在那個圓內部的零點的事？直覺上，零點是 |f| 俯衝到 0 的地方，一座深谷；要爬回圓的邊界，|f| 就得抬升，而你挖的谷越多，圓緣就得越高。詹森把這套手勢化成一條精確到最後一位小數的方程。它在精神上，就是調和函數的平均值定理，經過修正以容納那些原本會破壞它的零點。

從平均值性質到修正項

從乾淨的情形入手：一個沒有零點的函數。若 f 在閉圓盤 |z| <= r 上全純且從不為零，那麼 log|f(z)| 在那裡是一個調和函數——它是（局部定義的）全純函數 log f 的實部，而全純函數的實部是調和的。調和函數遵守平均值性質：它在圓心的值等於它在任一周圍圓上的平均。於是，在周遭沒有零點時，log|f(0)| 恰好就是 log|f| 在半徑 r 的圓上的平均。圓心值就是邊界平均，僅此而已。

修補是個漂亮的把戲：把零點除掉。假設 f 在 |z| < r 內有零點 a_1, ..., a_n（連同重數列出，所以一個二重零點出現兩次），並為簡單起見設 f(0) 不為 0。對每個零點 a_k，那個 Blaschke 型因子 (r^2 - a_k-bar z)/(r(z - a_k)) 是一個小裝置，它消掉 a_k 處的零點，卻——關鍵地——在圓 |z| = r 上的模恰好為 1。把 f 乘上它們全部，你就造出一個沒有零點、但與 f 有相同邊界模的函數 F。對 F 套用乾淨的平均值性質，再把因子拆回來，修正項就掉了出來。

公式本身

塵埃落定時，這套記帳法說的就是下面這句。log|f| 的邊界平均超過圓心值 log|f(0)| 的部分，恰好是每個零點貢獻一項之和——而每一項都是該零點有多少空間的對數，也就是圓半徑與該零點到圓心距離之比 r/|a_k| 的對數。

(1 / 2 pi) * integral from 0 to 2 pi of  log|f(r e^(i theta))| d theta

   =  log|f(0)|  +  sum over zeros a_k inside |z| < r  of  log( r / |a_k| )

Each factor r/|a_k| > 1, so every interior zero ADDS to the boundary average.
(If f(0) = 0, replace log|f(0)| by the leading Taylor-coefficient term.)

詹森公式。左邊是 log|f| 繞半徑 r 的圓的平均。右邊把它拆成圓心值，加上圓盤內每個零點（連同重數）各貢獻一項正的 log(r/|a_k|)。

把它讀成一份預算。log|f| 的邊界平均是收入；log|f(0)| 是基準線；每個內部零點收取一筆正的費用 log(r/|a_k|)，對靠近圓心（|a_k| 小）的零點很大，對緊貼圓緣的零點則縮到 0。這條方程說：收入必須恰好支付基準線加上所有費用。這就是詹森公式，而它是個等式，不是估計——對一句把成長與零點這兩件看起來如此不同的事綁在一起的陳述來說，這實在驚人。注意我們先前見過的那些負號：零點越多，右邊的和越大，就逼得左邊的平均越大，也就意味著 |f| 在圓上必須更大。零點實實在在地花掉成長。

數零點，以及通往階的橋

現在把公式榨到底。設 n(r) 為零點計數函數：f 在圓盤 |z| <= r 內的零點個數，連同重數。一個標準的操作把詹森對個別零點的求和改寫成 n(t)/t 的積分——這把整條公式打包成「零點計數如何隨半徑成長」的形式。結果是一條乾淨的不等式：log|f| 在圓上的平均（它以 log M(r) 為上界）壓制了累積的零點計數。成長從上方控制著零點。

把詹森公式用在半徑 2r 的圓上，而非 r。邊界平均至多是 log M(2r)，因為在那個圓上處處有 log|f| <= log M(2r)。
在右邊，丟掉位於圓環 r <= |a_k| <= 2r 內的零點，只保留那些 |a_k| <= r 的。保留下來的 n(r) 個零點每個至少貢獻 log(2r / r) = log 2。
把兩者串起來：n(r) log 2 <= log M(2r) - log|f(0)|。於是 n(r) <= (log M(2r) - log|f(0)|) / log 2——零點計數被 log M 的成長所界定。
讀出對階的推論。若 f 的階為 rho，則 log M(r) 像 r^rho 那樣成長，於是 n(r) 成長得不會比 r^rho 快。一個有限階的整函數不可能有太多零點：它們的密度被成長率封頂。

這就是驅動本階梯其餘部分的回報。一個有限階整函數的零點不被允許以任意快的速度堆積——它們的計數函數被 r^rho 扼住。那一條界，正是下一篇所需的輸入：它保證了對零點取的無窮乘積真的收斂，而這正是阿達瑪因式分解定理之所以可能的原因。詹森是定量的核心；阿達瑪是從它長出來的結構性結論。

一個小小的實算驗證，以及誠實的細則

在一個你看得見的東西上測試它。取 f(z) = z，它在原點有一個零點——但如所述的詹森公式要 f(0) 不為 0，所以改用 f(z) = z - a（a 固定且 |a| < r），它在 z = a 有一個單零點。右邊是 log|f(0)| + log(r/|a|) = log|a| + log(r/|a|) = log r。左邊是 log|r e^(i theta) - a| 在圓上的平均。那個平均是一個經典積分，當 |a| < r 時它恰好等於 log r——這個事實你可以靠對稱性、或把平均值性質用在 a 之外的 log|z - a| 上來驗證。兩邊都等於 log r。這本帳平衡到最後一個符號。

三點誠實的提醒。第一，詹森公式需要 f 在圓 |z| = r 本身上沒有零點；恰好落在邊界上的零點會讓 log|f| 在積分路徑上正好尖到負無窮。補救是把 r 略微挪動，而由於零點是孤立的，幾乎每個 r 都行得通。第二，f(0) = 0 的情形是被處理、而非被排除的：你把領頭的 z^m 提出來，log|f(0)| 那一項就改成第一個非零泰勒係數的 log 加上 m log r。第三——這一點最深——詹森只數零點，也就是 f 碰上那單一個值 0 的地方。把「f 碰上每一個值 w 的頻率」都數進來、對所有 w 同時把成長與取值權衡起來的宏大推廣，就是奈望林納特徵，本階梯的高潮。詹森是整套值分布理論的種子。