統御全局的那唯一定義
為了這一刻，我們攀爬了很長一段路。指數函數給了我們 e^z 與它的 2 pi i 週期性；正弦與餘弦無界地增長；對數裂解成無窮多個值；而上一篇我們學會了用一條分支割線與一個主分支來馴服這份裂解。如今這一切兌現於一個大膽的問題：當 c 本身是個複數——甚至像 i 那樣——z^c 該是什麼意思？我們沒有「把 z 自乘 i 次」這種退路可走。我們需要一個真正全新的想法。
這個想法，是倚靠我們最信任的兩個函數。對正實數而言，a^c 早已等於 e^(c ln a)——求冪其實暗地裡就是「e 的對數次方」。我們只是把這條恆等式提升為複數世界的定義。一個複數冪是 z^c = e^(c log z)，其中 log z 是複對數。請慢慢讀：取底數的對數、乘上指數、再求 e 的次方。每一個複數冪，都恰好由本階梯一路在談的這兩個初等函數搭建而成。
z^c = e^(c log z) (the definition)
log z = ln|z| + i (arg z + 2 pi k), k = 0, +-1, +-2, ...
so z^c = e^( c [ ln|z| + i arg z + i 2 pi k ] )
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one chosen value the k-ambiguity多值，是繼承來的
這裡有個你絕不能略過的、誠實的後果：因為 log z 是多值的，z^c 也是多值的。對數提供了一整把相差 2 pi i k 的值的階梯，而每一階都餵給 e^(c log z) 一個不同的答案。所以一般而言，z^c 不是一個數，而是一「組」數——而這組數可以是無窮多個。這不是個需要致歉的瑕疵；它是複數求冪真正的形貌，假裝並非如此，正是我們拒絕說的那種「為了方便的謊言」。
讓我們真正算一遍那個招牌例子 i^i，並感受它的驚奇。寫 i = e^(i pi/2)，於是 log i = i(pi/2 + 2 pi k)。則 i^i = e^(i log i) = e^(i · i(pi/2 + 2 pi k)) = e^(-(pi/2 + 2 pi k))。這些值每一個都是正實數——i 的虛數次方竟是實數，沒有任何實變數的直覺能讓你對此有所準備。取 k = 0 得到主值 e^(-pi/2) ≈ 0.20788；其他的 k 給出 e^(-pi/2 - 2 pi k)，一整列幾何族列隊行向 0 與行向無窮。
主冪，以及驚奇何時停止
處處選用主對數，便給出冪的主值 z^c = e^(c Log z)，這也正是計算機所回傳的。在割開的平面上——沿負實軸劃開一道縫的平面，Log z 在其上單值且全純——主冪是 z 的一個完全體面的全純函數。但別忘了這個選擇付出的代價：你為對數所安放的同一條分支割線，被冪原封不動地繼承了下來。當你越過負實軸，主冪 z^c 是不連續的，跳躍的倍數正是 2 pi i 的對數跳躍所生出的 e^(c · 2 pi i)。
那麼多值性何時悄然消失？恰恰在跳躍倍數 e^(c · 2 pi i) 等於 1 之時——也就是 c 為整數之時。若 c = n 是整數，則對每一個 k 都有 e^(c · 2 pi i k) = e^(2 pi i n k) = 1，於是所有分支值塌縮成單一個數，z^n 便誠實地是單值的。這就是那行令人安心的小字：尋常的整數冪如 z^2 或 z^(-3) 從來不是多值的，而我們宏大的定義與初等的定義完美相符。怪異是真實的，但它被限制在非整數指數上。
方根：同一台機器，在 c = 1/n 運轉
現在來看最美的兌現。方根不過是帶分數指數的冪：z 的 n 次方根就是 z^(1/n)。把 c = 1/n 餵進我們的定義，對數裡的 2 pi k 不再被沖洗掉——反而把諸值灑了開來。倍數 e^((1/n) · 2 pi i k) = e^(2 pi i k/n) 在 k 跑過 0, 1, ..., n-1 時恰取 n 個相異值，之後便重複。於是 z^(1/n) 恰好給出n 個相異的方根，不多也不少——這正是你早在基礎篇初遇的複數的 n 個 n 次方根，如今是從單一條冪律推導出來，而非被斷言。
幾何上的圖景既絢麗又簡單：這 n 個根全共用模 |z|^(1/n)，而它們的輻角以 2 pi/n 均勻地排開。它們落在一個以原點為心的正 n 邊形的頂點上。取特例 z = 1，你便尋回了單位根——那些沿單位圓列隊行進的點 e^(2 pi i k/n)，是全部初等複分析裡最乾淨的圖樣。這也正是棣美弗定理用極座標告訴過你的，如今被看作複數冪的一個面相。
- 把底數寫成極式 z = r e^(i theta)，其中 r = |z|，theta 取 arg z 的一個值。
- 每個根共用的模是 r^(1/n)（正數 r 的尋常實 n 次方根）。
- 這 n 個輻角是 (theta + 2 pi k)/n，k = 0, 1, ..., n-1——以 2 pi/n 均勻分隔。
- 把每個根組裝成 r^(1/n) · e^(i (theta + 2 pi k)/n)；它們合起來構成一個正 n 邊形，而越過 k = n-1 之後諸值便只是重複。
分支點，以及那些悄悄失效的規則
那些根在何處糾纏起來？在原點與在無窮遠處——z^(1/n) 的分支點。繞原點一圈，輻角推進 2 pi，於是每個根旋轉 2 pi/n，落到 n 邊形「下一個」頂點上：諸根循環地置換。這正是分支點明白無誤的指紋，與對數所帶的同一種。要挑出一個連續的單根函數，你又得沿一條從 0 到無窮的分支割線把平面劃開，並選定一個分支——最常是那個由 Log z 搭建的主分支。
最後，一句連謹慎的人也會中招的警告。一旦指數變成非整數，課本裡的冪律便不再有保證。恆等式 (z w)^c = z^c w^c 可能失效，因為 Log(z w) 未必等於 Log z + Log w——兩個輻角相加可能越過 pi，逼出一個 2 pi 的修正。經典的陷阱：(-1)·(-1) = 1 給出 sqrt(1) = 1，然而 sqrt(-1)·sqrt(-1) = i·i = -1。沒有任何東西壞掉；你只是落到了不同的分支上。解方就是上一篇的那份紀律——先固定你的分支，再計算——這也正是為何一致地選取分支是整個階梯一直在訓練的習慣。