對一個會重複的函數求反
取對數就是把指數運算還原：求 log z 意指找出所有滿足 e^w = z 的 w。在實數線上這毫無問題，因為 e^x 嚴格遞增——每個正的輸出都恰好來自一個輸入，所以 ln x 是單一一個數。但你在前幾篇指南剛遇到一個驚人的事實：複數指數函數是週期性的，對每一個 w 都有 e^(w + 2 pi i) = e^w。一個會重複的函數不可能有單值的反函數，而這一個觀察，就是本篇的全部故事。
假設 w 是 e^w = z 的一個解，那麼 w + 2 pi i、w + 4 pi i、w - 2 pi i……也全都是解，永無止盡。對數是多值的：它交給你的不是一個答案，而是一道無窮的階梯，每一階恰好比前一階高出 2 pi i。它們共有相同的實部，僅在虛部上相異，沿著 w 平面中一條鉛直線上下行進。所以不加說明地寫下「log z」，指的並不是一個值，而是一整個集合。
從極式直接讀出公式
要釘住每一個解，最俐落的辦法是把 z 寫成極式。設 z = r e^(i theta)，其中 r = |z|，theta 是 z 的一個輻角，而我們要找 w = u + i v 使 e^w = z，於是 e^u e^(i v) = r e^(i theta)。比對模長得 e^u = r，故 u = ln r——這是一個正數的普通實對數。比對方向得 v = theta，但只到「整圈」為止，因為旋轉 2 pi 會把你帶回原處。那道相差 2 pi i 的階梯，正是從這裡來的。
z = r e^(i theta), r = |z| > 0
log z = ln r + i (theta + 2 pi k), k = 0, +-1, +-2, ...
= ln |z| + i arg z (arg z is itself a whole set)有兩點值得停下來體會。其一，實部 ln |z| 完全確定——所有的多值性都住在虛部裡，而虛部不過是 z 的輻角，連同它與生俱來的 2 pi 模糊性。其二，這個公式要求 r > 0，這並非偶然：它是「指數函數永不為零」這個事實在平面上的回聲。既然 e^w 永遠不等於 0，方程 e^w = 0 便無解，所以 log 0 是貨真價實地沒有定義。原點是平面上對數唯一斷然拒絕觸碰的點。
一個範例：負一的對數
實數微積分告訴初學者：負數不能取對數。複數平面卻欣然反對——可以取，只是你會得到無窮多個答案。取 z = -1，其模長為 |z| = 1，故 ln |z| = ln 1 = 0；其輻角為 pi、pi + 2 pi、pi - 2 pi……等等。依照公式，對每一個整數 k 都有 log(-1) = i (pi + 2 pi k)。那句著名的口號「e 的 i pi 次方等於 -1」，不過是把這道階梯的一階倒著讀罷了。
- 把 z 寫成極式：-1 = 1 * e^(i pi)，故 r = 1，一個輻角為 theta = pi。
- 實部：u = ln r = ln 1 = 0——-1 的每一個對數都落在虛軸上。
- 虛部：v = theta + 2 pi k = pi + 2 pi k，掃過……、-3 pi、-pi、pi、3 pi、……。
- 彙整：log(-1) = i (pi + 2 pi k) = ……、-3 pi i、-pi i、pi i、3 pi i、……——無窮多個如假包換的值。
馴服階梯：主對數 Log
一個無窮集合用起來很彆扭，所以我們通常挑出一階、稱它為「那個」答案。標準的選擇是主對數，用大寫 L 寫成 Log z。它採用主輻角 Arg z，也就是把 arg z 選在半開區間 (-pi, pi] 內的那唯一一個值。於是 Log z = ln |z| + i Arg z；在正實軸上這與你早已熟悉的普通 ln 恰好一致，所以這個新概念是把舊概念延伸，而非取而代之。
從集合中挑出一個值，正是選定對數一個分支的意思。主分支是最常見的選擇，但它是一種選擇，而非自然律——對於一個活在負實軸附近的問題，你或許更想用 [0, 2 pi) 這樣的輻角範圍。真正要緊的是：固定一個範圍並對它從一而終，因為下一篇將揭示，在計算途中悄悄換分支，正是製造出一個信心滿滿卻徹底錯誤的答案的經典手法之一。
為何沒有分支能撐過一整圈
這裡有個深層的理由，說明多值性為何永遠無法被徹底抹平。想像讓點 z 沿著以原點為心的小圓逆時針走一整圈。它的模長 |z| 回到出發值，所以對數的實部 ln |z| 原封不動地回來了。但它的輻角持續增加，最終比起點大了 2 pi——於是繞完一圈後，log z 的虛部增加了 2 pi。你回到了同一個 z，卻得到對數的另一個值。原點是一個分支點：你無法繞過它一圈而不讓函數跳到下一階。
這就是為何任何單值的選擇——主對數也不例外——都必須在某處被撕開。要讓主分支保持連續，你必須禁止 z 跨越負實軸，因為在那裡 Arg z 會從略小於 pi 猛跳到略大於 -pi。那條被禁止的射線稱為分支切割，正是下一篇要完整展開的主題。誠實的結論是：在整個挖掉原點的平面上，並不存在連續的單值對數。你可以擁有連續性，或者擁有繞原點處處單值，但兩者無法同時兼得。
其實有一個優美的辦法，能同時保住連續與單值：別再堅持答案要活在一個平坦的平面上。若你讓 z 繞著原點旋轉，每繞一圈就螺旋上升到新的一層，便建構出對數的黎曼曲面——一道無止盡的螺旋斜坡，log 在其上成為一個如假包換、完美連續的函數。在那曲面上，那道值的階梯不是缺陷，而是自然的幾何。只有當我們把斜坡壓回單一平面、被迫切開它時，麻煩才出現。