正弦與餘弦究竟從何而來？
在上一篇裡，你把指數函數延拓到整個平面，並看著 e^z 取得了 2 pi i 的週期。現在我們順著這份工作直接駛進三角學。橋樑就是你對實角早已信任的 歐拉公式：e^(i t) = cos t + i sin t。把 t 換成 -t，再利用餘弦是偶函數、正弦是奇函數的事實，你還會得到 e^(-i t) = cos t - i sin t。兩條方程式、兩個未知數——解出 cos t 與 sin t 即可。
把兩條恆等式相加，正弦項相消，得到 cos t = (e^(i t) + e^(-i t))/2；相減則餘弦項相消，得到 sin t = (e^(i t) - e^(-i t))/(2 i)。這些對每一個實數 t 都成立。現在來看那個創造出整套理論的唯一一步：就讓角度變成一個複數 z。我們定義複正弦與複餘弦為 cos z = (e^(i z) + e^(-i z))/2 與 sin z = (e^(i z) - e^(-i z))/(2 i)，其中 z = x + i y 如今可以自由地在平面上漫遊到任何地方。
這不是一個我們但願它表現良好的猜測，而是唯一誠實的選擇。因為 e^z 是唯一一個在實軸上與實指數函數相符的整函數，由它造出的 cos z 與 sin z 也就是唯一在實數線上與尋常餘弦、正弦相符的整函數。全純那一階梯的恆等定理保證了不存在任何競爭者——任何其他在實軸上與它們相符的整函數，都勢必處處與它們相等。
什麼存活下來，什麼變了樣
先說令人安心的消息：你背過的幾乎每一條代數恆等式，搬到平面上都原封不動地存活下來。畢氏恆等式 cos^2 z + sin^2 z = 1 對所有複數 z 仍然成立，和角公式照樣管用，導數也恰如你所料——sin z 的導數是 cos z，cos z 的導數是 -sin z。這些都不是巧合：任何在整條實軸上都成立的、餘弦與正弦之間的多項式關係，再一次由恆等定理保證，在它有意義的每一處都成立。
週期性也存活下來，而且它直接源自指數函數的週期。因為 e^z 每當 z 增加 2 pi i 就重複一次，函數 e^(i z) 與 e^(-i z) 便每當 z 增加 2 pi 就重複一次。所以 cos z 與 sin z 恰好保有它們的實週期 2 pi——而且那是唯一的週期。沒有額外的虛週期；把 z 推離實軸並不會把你帶回出發點。請牢牢記住這點，因為虛方向上的行為，馬上就要打破一條你從高中起就信任的規則。
牢籠打開了：無界性
這正是整篇導引的頭條。在實數線上，sin t 與 cos t 永遠被關在 [-1, 1] 這個盒子裡。在平面上，那個盒子不見了：複正弦與複餘弦是無界的。要看清這點，根本別沿實軸看——爬上虛軸。令 z = i y，一個純虛的輸入，把它代進定義。此時 e^(i z) = e^(-y) 而 e^(-i z) = e^(y)，公式便塌縮成令人吃驚的東西。
Set z = i y (pure imaginary). Then:
cos(i y) = ( e^(-y) + e^(y) ) / 2 = cosh y
sin(i y) = ( e^(-y) - e^(y) ) / (2 i) = i sinh y
As y -> +infinity, cosh y and sinh y both -> +infinity.
example: |cos(10 i)| = cosh 10 is about 11013,
nowhere near the old bound of 1.慢慢讀這段。沿虛軸，cos z 恰好等於實數的雙曲餘弦 cosh y，當 y 增大時它便駛向無窮大。所以只要你爬得夠高，|cos z| 要多大有多大——在 z = 10 i 處它已經超過一萬一千。sin z 也發生同樣的指數增長。那條從不超過 1 的熟悉波形，原來只是一個函數裡又特別又平坦的一道切片；而那函數整個看來，一旦你踏離實軸，便毫無上限地增長。
為何非如此不可：劉維爾守住帳本
無界性不是意外，也不是公式的怪癖，而是被逼出來的。回想全純那一階梯的劉維爾定理：一個既是整函數（在整個平面上全純）又有界的函數，必定是常數。如今 cos z 與 sin z 都是整函數——它們由整函數 e^z 造出——而且顯然不是常數。所以它們根本不可能有界。倘若它們處處都待在 [-1, 1] 裡，劉維爾定理就會把它們碾成常數，可它們並不是常數。牢籠非開不可。
這是複分析不斷交付的那種剛性的一個漂亮範例。在實分析裡，你可以輕易造出一個處處光滑、非常數卻永遠有界的函數——sin t 本身就是。但複可微遠比實可微強悍，而這多出來的強悍是有代價的：它不留任何餘地給一個有界的非常數整函數。正是那個讓 cos z 如此規矩的性質（處處全純），恰恰也正是逼著它增長的原因。
- 回想定義：cos z = (e^(i z) + e^(-i z)) / 2，對每一個複數 z 都成立。
- 注意 e^z 是整函數，所以 e^(i z) 與 e^(-i z) 都是整函數，因此 cos z 也是整函數。
- 為了導出矛盾，假設 |cos z| 對所有 z 都保持在某個固定的界 M 以下。
- 那麼劉維爾定理就逼得 cos z 必為常數——但 cos 0 = 1 而 cos pi = -1，矛盾。所以這樣的界並不存在：cos z 是無界的。
正弦、餘弦與雙曲雙生子本是一家
cos(i y) = cosh y 這個計算並不是一條走失的事實——它指向一場深刻的合併。複雙曲函數 cosh z = (e^z + e^(-z))/2 與 sinh z = (e^z - e^(-z))/2 由同一個指數函數造出，所以它們也是整函數，而在複數的世界裡，它們不過就是被旋轉過的三角函數。乾淨的敘述是 cosh z = cos(i z) 以及 sinh z = -i sin(i z)。在實數線上，cos 與 cosh 看來像截然不同的兩頭怪獸——一個是波，一個是懸鏈——但在平面上，它們是同一個函數從互相垂直的方向看過去的樣子。
拆成實部與虛部，整個家族便變得具體。用和角公式，sin(x + i y) = sin x cosh y + i cos x sinh y，而 cos(x + i y) = cos x cosh y - i sin x sinh y。把這些讀成函數那一階梯的 f = u + i v 分解：實部隨 x 振盪（那條老波形），而虛部則承載著失控的 sinh y 增長。你甚至可以對這些 u 與 v 驗證柯西-黎曼方程，看著它們成立——這是一個親手做的確認，證明 sin z 確實是全純的。
走之前再給你一個誠實的提醒。因為正弦與餘弦如今取遍每一個值且無界地增長，方程 sin z = w 對任何複數 w 都解得出來——包括 |w| 遠大於 1 的 w。解這個方程會把你引向像 arcsin 這樣、由一個平方根與一個對數造出的反函數，而那些反函數將會是多值的，帶著接下來兩篇為對數所探討的同樣的分支點麻煩。正弦與餘弦那個討喜的單值世界是真實的，但它們的反函數已經嗅得到接下來那股多值的味道了。