為何挑這兩個函數，又要修補什麼
上一篇給了我們那個宏大的想法：當一個函數拒絕成為單值時，別再怪函數，而是重建它的定義域。把足夠多份平面黏在一起，使函數在這片新的、更大的地面上每一點正好只有一個值，多值性就這樣蒸發了。這想法在抽象層面美得動人，但唯有當你親手造出一兩個曲面，它才真正一拍即合。所以這收官的一篇，把兩個典範構造做到完整——人人最先學的那兩個：平方根與對數的黎曼曲面。
從這兩個入手是對的，因為它們之所以不是單值，誠實又顯眼，並非什麼病態。平方根 z^(1/2) 在每個非零的 z 取兩個值，因為有兩個數平方後相同：若 w^2 = z，則 (-w)^2 = z 也成立。對數 log z = ln|z| + i(arg z + 2 pi k) 取無窮多個值，每個整數 k 對應一個，因為指數函數以 2 pi i 為週期。兩種情形裡，這份多值性都不是錯誤——它是對一個多對一映射被反解時的忠實記帳。我們的任務，是給這份記帳一個幾何。
平方根：兩張葉片，一次扭轉
從平方根開始，因為它的曲面小到能完整想像。麻煩集中在單獨一點。原點是一個分支點：你無法繞 z = 0 走一個小迴圈而不讓平方根的值在回來時變號，因為繞原點一圈會給 arg z 加上 2 pi，而平方根把幅角折半，於是加上 pi——而 e^(i pi) = -1。無窮遠點是唯一的另一個分支點。在其他每一處，兩個值 w 與 -w 都舒舒服服地分開坐著，你可以順順地跟著任一個走。
構造如下。取兩份複平面——叫它們葉片 A 與葉片 B——在每一份上從 0 向無窮遠割開一道分支割線，比方說沿著負實軸。葉片 A 上我們承載幅角介於 -pi/2 與 pi/2 之間的那一支平方根（「右側」的那組值）；葉片 B 上承載另一支，也就是它們的相反數。每張割開的平面如今都是它自己那一支的、誠實的單值家園。魔法在於我們如何把它們縫起來：在葉片 A 上越過割線，你不會繞回葉片 A——你踏上了葉片 B；而在葉片 B 上越過割線，又把你帶回 A。
TWO-SHEET SURFACE OF w = z^(1/2)
sheet A (branch with arg w in (-pi/2, pi/2))
sheet B (branch with arg w in ( pi/2, 3pi/2))
cut along negative real axis on each sheet
cross the cut on A --> arrive on B
cross the cut on B --> arrive on A
one full loop around z = 0:
A --(cross cut)--> B --(cross cut)--> A
value: w --> -w --> w
TWO turns of the plane = ONE turn of the surface
branch points: z = 0 and z = infinity (where the two sheets pinch together)走它一圈，去體會為何行得通。從葉片 A 上 z = 1 附近出發，手握 w = +1。繞原點一圈：你越過割線、落到葉片 B，而你的值連續地滑到了 -1，正如單值繞行所預言。但你已不在出發處——你在 B 上。再繞一圈：你又越過割線、回到葉片 A，值滑回 +1。那條曾經會改變值的路徑，如今要走滿兩整圈才閉合，而在這雙葉曲面的每一點之上，平方根正好只有一個值。函數終於是單值了；它不過是需要一個大一倍的定義域罷了。
那個曲面究竟長什麼樣
誠實的圖像有一個值得正視的微妙之處。若你試圖在平直的三維空間裡把兩張割開的平面黏起來，第二道縫勢必要穿過第一道，於是你沿割線畫出一個表面上的自我相交。那個交錯是作畫的人造產物，並非曲面的特徵——正如你把克萊因瓶壓平到紙上時出現的那種表面自交。抽象地說，這曲面完全光滑，沒有邊緣、沒有自交：兩張葉片在割線處乾淨地接合，割線不再是一堵牆，而成了一道你可以閒步走過的尋常內部接縫。
整體形狀如何？在平面的每個尋常點之上正好有兩張葉片，而在兩個分支點（0 與無窮遠）處，葉片捏合成單獨一點——這就是本構造的葉片與分支點。若你把無窮遠點納入做緊化、再把一切拉鍊般封好，得到的封閉曲面在拓樸上是一個球面。兩張葉片、兩個捏合點、一個球面：這就是整個平方根曲面。它是存在的最簡單而有趣的黎曼曲面，其虧格——把柄的數目——為零。
對數：一道永不閉合的坡道
現在輪到對數，同樣的構造在此走向無窮。回想 log z = ln|z| + i(arg z + 2 pi k)：實部 ln|z| 是單值的、無害，但虛部是幅角，而幅角只定義到可加上 2 pi 的整數倍。繞原點一圈，arg z 恰好增加 2 pi，於是對數增加 2 pi i——而它永不回頭。不存在某個 n，使得繞 n 圈能還原初值，像平方根繞兩圈那樣。對數有無窮多支，以每個整數 k 為標號，並且一去不返地向前邁進。
所以我們需要的不是兩張葉片，而是為每個整數 k 各配一張，一張疊一張、黏成一道無盡的階梯。為每個 k 取一張割開的平面，把它們疊成一座塔，再把每張割線的上緣，黏到上方那張割線的下緣。如今越過割線總是把你帶上下一張葉片，k 到 k+1，而你可以一直往上爬——或往下走——永遠不會回到出發處。這就是著名的對數的黎曼曲面，而人人想到的圖像，是一道螺旋停車坡道，或一座繞著 z = 0 中軸盤旋的無窮螺旋階梯。
在這道坡道上，對數變得漂亮地單值，甚至簡單。坡道上的高度追蹤著幅角：當你螺旋繞一圈，你升上下一層樓，對數的虛部增加 2 pi i——那一層層樓就是那些 2 pi i 的跳躍，化成了誠實的幾何。離中軸的徑向距離追蹤著模長，實部 ln|z| 從近軸處的負無窮，向外伸向正無窮。原點本身缺席——它是一個分支點，坡道繞著它盤旋卻永不觸及，這正是為何只有單獨一根中軸、而沒有底樓。
更深的真相：它們是挖洞平面的覆蓋
兩幅圖像底下都坐著一個統合的想法，值得替它取名。每個曲面都自帶一個向下的自然映射：站在平方根曲面或對數坡道上的任一點，你總能讀出它所在之下那個底層的 z（只要忘記你在哪張葉片上）。這使每個曲面成為挖洞平面的一個覆蓋空間——挖掉原點的平面，因為分支點正是葉片唯一不守規矩之處。平方根曲面是雙重覆蓋；對數坡道是無窮重覆蓋。「葉片」正是覆蓋之層的那個非正式說法。
對數的曲面不只是一個覆蓋，它是可能最為展開的那一個：挖洞平面的萬有覆蓋。它是那個本身單連通的覆蓋——坡道上每個迴圈都能縮成一點，因為那個惹麻煩、繞原點的迴圈，已被攤開成那道永不閉合的螺旋。這就是「馴服多值性」最乾淨的說法：你不停地把惹麻煩的迴圈攤開，直到一個不剩，於是在樓下有無窮多值的對數，在它自己樓上的萬有覆蓋上，每一點正好只有一個值。
退一步，整個階梯落入同一個畫框。沿路徑的延拓會改變分支；單值性定理說它只取決於路徑的同倫類；繞分支點的迴圈正是那個咬人的同倫類；而黎曼曲面，就是那個新的定義域，在其上所有那些分支，成了單獨一個誠實、單值的全純函數的諸值。平方根與對數，是該永遠留在腦中的兩幅圖像——一個有限而呈球面，一個無窮而呈螺旋——因為幾乎每個更繁複的黎曼曲面，都是靠黏合恰恰這兩種動作的副本而造出的。
最後一則誠實的但書，免得這幅圖像言過其實。把這些曲面畫在三維中，會逼出真正的、抽象的曲面所沒有的那些表面自交與邊緣——這圖像是拓樸的忠實嚮導，而非字面意義的嵌入。而所有單連通黎曼曲面的宏大分類——每一個在保角意義下不是圓盤、就是平面、就是球面——是單值化定理，一個我們在此僅只點名的深刻結果。平方根與對數並非故事的終點；它們是兩道乾淨的門，整套黎曼曲面理論，正是經由它們被最溫柔地踏入。