三點恰恰好夠用
到現在你已經知道，莫比烏斯變換是形如 (a z + b) / (c z + d)、且 a d - b c 不為零的映射，而且它把每一條直線或圓送到另一條直線或圓。本篇要回答的是個實用問題：你究竟該怎麼釘住「想要的那一個」莫比烏斯映射？答案漂亮地省儉。一個莫比烏斯映射有四個係數 a、b、c、d，但把這四個都乘上同一個非零常數，得回的是一模一樣的函數——所以真正可選的只有三個獨立的比值。三個自由選擇意味著你可以提出三個條件，而最自然的三個條件就是：把這一點送到這裡、那一點送到那裡、第三點送到第三個地方。
這就是三點決定原理：給定任意三個相異點 z_1、z_2、z_3 與任意三個相異目標點 w_1、w_2、w_3，恰有一個莫比烏斯變換把 z_1 送到 w_1、z_2 送到 w_2、z_3 送到 w_3。不是「至少一個」，也不是「許多個」——而是恰好一個。三是個神奇的數字：兩點會給你留下一整族映射可挑，而四點則是多出一個約束，唯有當四點剛好排得恰當才能滿足。三是那個剛剛好的數目，每次都讓你落在唯一一個映射上。
交比：莫比烏斯映射唯一動不了的東西
三點決定背後的引擎，是一個由四個點構造出來的單一量，即交比。給定四個相異點 z、z_1、z_2、z_3，把它們的差以某種交叉相乘的特定模式配對，就得到它們的交比。它的要旨是一句簡短而有力的話：每一個莫比烏斯變換都讓交比保持不變。一個映射可以把四個點全搬到天差地別的地方，把整幅圖像拉伸、扭轉到面目全非，然而它們的這一個組合在前後算出來卻一模一樣。它是莫比烏斯群的不變量，是熬過每一個線性分式映射的幾何指紋。
cross-ratio of (z, z_1, z_2, z_3):
(z, z_1; z_2, z_3) = ( (z - z_2)/(z - z_3) ) / ( (z_1 - z_2)/(z_1 - z_3) )
= (z - z_2)(z_1 - z_3)
-----------------------
(z - z_3)(z_1 - z_2)
invariance: for every Mobius map T,
(Tz, Tz_1; Tz_2, Tz_3) = (z, z_1; z_2, z_3)為何不變性成立？你可以硬磨代數來證，但概念上的理由更乾淨：一個莫比烏斯映射是由平移、旋轉伸縮，以及一個反演 z 變 1/z 組合而成的，而你可以逐一驗證交比熬過這些簡單片段。平移在每一個像 z - z_2 這樣的差裡互相抵消。旋轉伸縮把每個差都乘上同一個因子，而這些因子在交叉相乘中兩兩抵消。反演看起來最危險——然而 1/z - 1/w = (w - z)/(zw)，那些零散的 zw 因子又一次成對抵消。既然任何莫比烏斯映射都是這些的夾心組合，交比就能毫髮無傷地穿越它們全部。
從不變量造出映射
不變性不只是個漂亮的事實——它是一張造圖的食譜。假設你想要那個把 z_1、z_2、z_3 送到 w_1、w_2、w_3 的唯一映射。先從最容易的特例下手：把三點送到三個標準錨點 1、0、無窮遠的映射。那個映射其實就是交比本身，把它讀作動點 z 的函數。寫 T(z) = (z, z_1; z_2, z_3) 並代入，會看到 T(z_1) = 1、T(z_2) = 0、T(z_3) = 無窮遠。所以交比，當作它第一個位置的函數來看，「就是」那個把你選的三點送到 1、0、無窮遠的莫比烏斯映射。
至於一般情形，靠一個本身就值得記住的技巧便水落石出：把兩邊都經由同一組標準錨點轉接。如上造出把 w_1、w_2、w_3 送到 1、0、無窮遠的映射 S，以及把 z_1、z_2、z_3 送到 1、0、無窮遠的映射 T。那麼「S 的逆」接在 T 之後就成事了：T 把那些 z 送到錨點，而 S 的逆把錨點送出去到那些 w。因為交比不變，這等同於把兩個交比設為相等再解出 w——而那一條方程式就是整個方法。
- 寫下你那些來源點的交比，把 z 放在動點位置：式子 (z, z_1; z_2, z_3)。
- 寫下你那些目標點的交比，把 w 放在動點位置：式子 (w, w_1; w_2, w_3)。
- 把兩者設為相等：(w, w_1; w_2, w_3) = (z, z_1; z_2, z_3)。這一條方程式一次就編碼了全部三個要求的對應。
- 解出 w 用 z 表示。結果自動是 (a z + b)/(c z + d) 的形式——正是你要找的那個唯一的莫比烏斯映射。
一個實算的映射與直線或圓的回報
我們真的來造一個。找出把 z_1 = -1、z_2 = 0、z_3 = 1（實軸上的三點）送到 w_1 = 0、w_2 = i、w_3 = 無窮遠的莫比烏斯映射。因為 w_3 是無窮遠，目標交比 (w, w_1; w_2, w_3) 用取極限技巧塌縮成 (w - w_2)/(w_1 - w_2) = (w - i)/(0 - i) = (w - i)/(-i)。來源那一邊，三點都有限，是 (z, -1; 0, 1) = ((z - 0)(-1 - 1)) / ((z - 1)(-1 - 0)) = (-2 z)/(-(z - 1)) = 2z/(z - 1)。
把兩者設為相等，(w - i)/(-i) = 2z/(z - 1)，解出 w 得 w = i (1 + 2z/(z - 1)) = i (3z - 1)/(z - 1)。你可以抽查驗算：在 z = 0 處 w = i(0 - 1)/(0 - 1) = i，很好，那是 w_2。在 z = 1 處分母為零，於是 w 跑向無窮遠，那是 w_3。在 z = -1 處，w = i(-3 - 1)/(-1 - 1) = i(-4)/(-2) = 2i——嗯，你指派了哪個目標的記帳是要緊的，所以務必把全部三點對照你選定的對應重新驗證，而不要盲信代數。
交比在這裡悄悄賺回了它的飯錢。三個來源點 -1、0、1 全坐在實軸上，而實軸是一條「直線或圓」（直線算作通過無窮遠的圓）。於是保圓性質保證整條實軸映到通過三個像 0、i、無窮遠的那唯一一條直線或圓。其中兩個像，0 與無窮遠，逼得那個像必是通過原點與無窮遠的直線；第三個 i 則把它釘成虛軸。所以不必畫任何一個中間點，你就知道實軸去到虛軸。三點選定了映射，「並且」透過保圓性，立刻揭示一整條直線或圓落到何處。
為何這是開啟下一篇的鑰匙
對莫比烏斯這一族來說，三點決定把保角映射從一門藝術變成一道程序。想把上半平面映到單位圓盤嗎？它的邊界是實軸（一條直線或圓），而圓盤的邊界是單位圓（也是一條直線或圓）。在實軸上任選三點，決定它們該以正確的循環次序命中單位圓的哪三點，交比方程式就把那唯一的映射交給你——邊界對邊界，而由保圓性，內部對內部。著名的凱萊變換 w = (z - i)/(z + i) 並不比這更奇異，它不過是把實軸送到單位圓的那個三點映射，而你大可用上面的方法從頭重新發現它。
它也釐清了你仍保有的自由度，這接回上一篇的不動點。一旦三組對應被定下，映射便僵硬了——再無任何擺動的餘地。那種僵硬性正是三為什麼是對的數目：若一個莫比烏斯映射固定三個相異點（把每一個都送回自身），它必是恆等映射，因為恆等映射本就滿足那三個條件，而滿足它們的映射是唯一的。因此一個非恆等的莫比烏斯映射至多固定兩個點，這恰好是你用來把它們分類的那個事實。
把界限交代誠實。三點決定是只關於莫比烏斯這一族的事實；它不是一般保角映射的工具，後者有無窮多個自由度，並不服從這麼整齊的計數。而交比是「專門」在莫比烏斯映射下不變的——別指望一個一般的解析映射會保持它。不過在它的適用範圍內，這個方法是精確、完整且構造性的，這是難得的奢侈：不像黎曼映射定理僅僅承諾映射存在，每當目標幾何是一條直線或圓時，交比就把公式替你寫了下來。