「全純映射保持角度」的附帶細則
上一篇賣給你一個乾淨俐落的標題：全純映射保持角度。但仔細看收據，你會發現上面釘著一個附帶條件。在點 z_0 附近，映射 f 到一階為止像是乘上它的導數 f'(z_0)——也就是旋轉伸縮，一次單一的旋轉加伸縮，把每個微小向量都轉動 arg f'(z_0)、伸縮 |f'(z_0)| 倍。兩條在 z_0 相交的曲線，它們的切向量被轉動了同一個角度，所以它們之間的夾角得以保全。整套論證悄悄地假定了一件事。
它假定了乘數不為零。如果 f'(z_0) = 0，那麼 |f'(z_0)| = 0、arg f'(z_0) 無定義——沒有所謂的旋轉角，伸縮倍數又把每個一階向量都壓成零。領頭階的圖景一片空白，保角的證明也隨之作廢。導數消失的那個點，恰恰是定理拒絕承保的地方。我們稱它為映射的臨界點。
看平方映射在原點把每個角度加倍
要當場逮到這件事，最乾淨的地方是平方映射 f(z) = z^2，其導數為 f'(z) = 2z。這個導數除了原點以外處處非零，所以 z^2 在平面其餘各處是共形的，卻在 z_0 = 0 有一個唯一的臨界點。要看清它在那裡做了什麼，把 z 寫成極式 z = r e^(i theta)。平方得 z^2 = r^2 e^(i 2 theta)：模長被平方了，而——關鍵之處——輻角被加倍了。
現在從原點射出兩條射線，一條沿正實軸、角度為 0，另一條角度為 theta。它們在原點相交，夾角為 theta。經過映射後，第一條射線仍指向角度 0（因為 2 乘 0 還是 0），但第二條如今指向角度 2 theta。兩個像之間的夾角是 2 theta——恰好是起初的兩倍。平方映射在原點並不保持夾角；它把夾角加倍了。一個四分之一平面（90 度的楔形）被張開成一個半平面（180 度的楔形）。
z = r e^(i theta) f(z) = z^2 = r^2 e^(i 2 theta) ray at angle 0 --> image at angle 0 ray at angle theta --> image at angle 2 theta angle between rays: theta --> 2 theta (DOUBLED at z = 0) Away from 0, f'(z) = 2z is non-zero, and angles are preserved as usual.
零點的階數就是角度的放大倍數
為什麼恰恰是加倍，而不是別的倍數？因為平方映射在原點以一個非常明確的程度消失。誠實的記帳法是看導數的零點階數——或者等價地，看 f(z) - f(z_0) 消失到幾階。對 f(z) = z^2，我們有 f(z) - f(0) = z^2，這是一個 2 階零點。對於一個在 z_0 有臨界點的一般全純函數 f，其局部泰勒展開的第一個非常數項出現在某個冪次 n，使得 f(z) - f(z_0) = a_n (z - z_0)^n + （更高階），其中 a_n 不為零且 n 至少為 2。那個整數 n 就是判決。
於是在 z_0 附近，映射的行為像 w - w_0 = a_n (z - z_0)^n，而取 n 次方會把輻角乘上 n，正如平方把它們乘上 2 一樣。所以一個臨界點若使 f(z) - f(z_0) 消失到 n 階，就會把 z_0 處的每個角度乘上 n。平方映射的 n = 2，因而有那個 2 倍的因子。立方映射 z^3 會把角度變成三倍；而 f(z) = z - z^2/2，其導數 1 - z 在 z = 1 消失到一階（因此 f - f(1) 在那裡消失到二階），就會在 z = 1 把角度加倍。這條規則是統一而定量的，不是含糊的「有東西壞掉了」。
- 算出 f'(z)，找出使 f'(z_0) = 0 的點——這些就是候選的臨界點。
- 在這樣的 z_0 處做泰勒展開：寫成 f(z) - f(z_0) = a_n (z - z_0)^n + （更高階），其中 a_n 不為零。
- 讀出階數 n（真正出現的最小冪次）——那個整數就是 z_0 處的角度放大倍數。
- 得出結論：在 z_0 處張角為 alpha 的楔形，會被映成張角為 n 乘 alpha 的楔形。
為什麼加倍的角度也扼殺了單射性
臨界點之所以是壞消息，還有第二個密切相關的理由：映射在那裡不再局部一對一。仍以 z^2 為例。兩個點 z 與 -z，除非 z = 0 否則相異，平方後卻得到完全相同的值 z^2。所以原點附近每一個輸出（除了 0 本身）都有兩個被摺疊到一起的原像。角度的加倍與這個二對一的摺疊，是同一現象的兩種看法：當你把一個楔形繞到張角的兩倍時，你必然把兩個輸入方向疊在每一個輸出方向之上。
這正是全純反函數定理的幾何心跳：f 在 z_0 附近有全純局部反函數，恰恰當 f'(z_0) 不為零時成立。在導數存活之處，旋轉伸縮是個可逆的旋轉加伸縮，所以 f 是局部雙射，你能解析地把它逆回去。在臨界點，旋轉伸縮塌陷、摺疊登場，整個鄰域上不可能存在單值的全純反函數——你會需要選一個分支，正如平方根逼出一條分支切割那樣。共形性與局部可逆性同生共死，而它們恰恰在臨界點上一同倒下。
當你映射區域時這意味著什麼
臨界點不只是個奇聞；每當你把問題從一個區域搬到另一個區域時，它就是你必須繞行的實際危險。如果你想要一個能平順地把角拉直的映射——比方說把 90 度楔形張開成平坦的半平面——你會去拿 z^2，正是因為它在角點把角度加倍。在這裡臨界點是個有用的特性，被刻意停放在那個麻煩的頂點上。邊界上的角被允許不共形；而你真正在做分析的內部，則必須保持乾淨。
這也正是為什麼本階梯後面那些標準映射都被如此謹慎地挑選。一個莫比烏斯變換 (z + a) / (c z + d) 的導數是 (ad - bc) / (c z + d)^2，只要 ad - bc 不為零它就永不為零——所以一個貨真價實的莫比烏斯映射完全沒有臨界點，在整個黎曼球面上處處共形。那份無瑕的共形性正是它好用的祕密。相對地，儒可夫斯基映射 (z + 1/z)/2 的導數 (1 - 1/z^2)/2 在 z = 正負 1 處消失，而那兩個臨界點正是把它的圓摺成翼型那尖銳後緣的元兇。知道共形性在哪裡失效，就是知道每件工具可以、又不可以指向何方。