「保持夾角」到底是什麼意思
上一階梯結束時，你得到一句關於複導數的鮮明總結：在點 z_0 附近，解析函數的作用是一次幅旋——它把每個微小箭頭放大 |f'(z_0)| 倍，並把每一個扭轉 arg f'(z_0) 這個角度。本篇要拿這個無窮小圖像，讀出它最有用的一個推論：解析映射保持夾角。但在證明之前，我們得先小心地說清楚，兩條曲線之間的夾角究竟是什麼，因為曲線並不是直線。
想像兩條光滑曲線穿過同一點 z_0——比方說一條河與一條路在某座橋處交會。在交點上，每條曲線都有一個切線方向，即它在那一瞬間前進的方向，而兩曲線之間的夾角，就定義為這兩條切線之間的角度。所以「兩曲線所成的夾角」其實是「它們的切線箭頭在相會點所成的角度」的簡稱。若每當兩曲線在 z_0 以某夾角 alpha 相交，它們的像在像點 f(z_0) 也恰以同一個夾角 alpha 相交，就說該映射在 z_0 保持夾角。
定義還有易被忽略的第二半：若一個映射不僅保持夾角的大小，還保持它的指向——從第一個箭頭轉到第二個箭頭是順時針還是逆時針——就稱它為保角（共形）映射。鏡像反射保持每個夾角的大小，卻翻轉了它的指向；那是保夾角大小但反保角，並非保角。保角的意思是夾角「與」定向都被保住，而你將看到，解析性會把兩者一次交到你手上。
解析性為何保住夾角：兩臂論證
證明就在這裡，而且很短，因為粗活全由幅旋包辦了。設兩條光滑曲線通過 z_0，切線方向為 theta_1 與 theta_2——這是它們的切線箭頭與正實軸所成的角度。兩曲線之間的夾角是差 theta_2 - theta_1。現在施加映射。在 z_0 附近，解析的 f 把每個微小箭頭拉長 |f'(z_0)| 倍，並把每一個都旋轉同一個固定角度 phi = arg f'(z_0)。拉伸對方向毫無影響。旋轉則把每條切線方向都移動同樣的 phi。
before: tangent 1 at angle theta_1
tangent 2 at angle theta_2
angle between curves = theta_2 - theta_1
f rotates EVERY arrow by the same phi = arg f'(z_0):
after: image tangent 1 at angle theta_1 + phi
image tangent 2 at angle theta_2 + phi
angle between images = (theta_2 + phi) - (theta_1 + phi)
= theta_2 - theta_1 <-- unchanged整個論證就這樣。因為共同的旋轉 phi 同等地加到 theta_1 與 theta_2 上，它在差 theta_2 - theta_1 中互相抵消，所以兩像之間的夾角等於兩原曲線之間的夾角。又因為 phi 是一個貨真價實的旋轉（而非反射），從第一臂到第二臂的轉動指向也被保住——所以映射是保角的，而非僅僅保夾角大小。這乾淨的抵消就是夾角保持的全部內容；本階梯其餘的一切都建立在它之上。
魔術失效之處：臨界點
兩臂論證悄悄假設了一件我們現在必須揭到明處的事：f'(z_0) 不為零。旋轉角 phi = arg f'(z_0) 唯有當 f'(z_0) 確實有一個輻角時才有意義，而複數 0 根本沒有輻角——0 不指向任何方向。f'(z_0) = 0 的點稱為臨界點，在臨界點上，保夾角的保證確實會破裂。這不是可以揮手帶過的技術細節；它就是下一篇的整個主題。
最乾淨的例子是平方映射 f(z) = z^2 在原點處。它的導數 f'(z) = 2z 在 z = 0 為零，所以 z = 0 是臨界點。看看那裡的夾角會怎樣。從原點以角度 theta 射出的射線，是所有 r e^(i theta)（r > 0）構成的集合；平方把 r e^(i theta) 送到 r^2 e^(i 2 theta)，即角度 2 theta 的射線。在原點量得的每個角度都被「加倍」。原本相隔 30 度射出的兩條射線，抵達時相隔 60 度。映射恰恰在它的導數消亡的那一點，劇烈地不保角。
這是規律，並非偶然：若 f 的導數在 z_0 有一個 m 階零點——意思是 f 在那附近的行為像一個常數加上 c (z - z_0)^(m+1)——那麼 z_0 處的夾角會被乘以 m + 1。對 z^2，導數有一個單零點，m = 1，夾角加倍，正如我們所見。所以這句招牌的誠實版本是：解析映射在每個 f'(z_0) 非零的點都是保角的，而你必須標記並另行處理的，恰恰是那些 f'(z_0) = 0 的孤立臨界點。
為何有人在乎：移植問題
若保夾角不是同時也是一件強大的工具，它不過是個漂亮的奇趣。它的回報是移植問題：拿一個困難的區域——平面上形狀古怪的定義域——找一個把它送到容易區域（通常是圓盤或半平面）的保角映射。許多物理定律是用調和函數來陳述的（想想穩態熱傳、理想流體流動、靜電位），而調和性受拉普拉斯方程支配，保角的變數變換讓它保持不變。於是你在圓盤上解那個容易的問題，再把答案映射回去，而那些夾角——流線與邊界相會的方式、場線穿越等位線的方式——都正確地回來了，因為映射保住了它們。
本階梯將建立的具體工具箱
知道保角映射存在且保持夾角是一回事；手邊備有一批可隨手取用的具體例子又是另一回事。本階梯的主角是莫比烏斯變換，形如 (a z + b) / (c z + d)、且 a d - b c 不為零的映射。它們是最簡單的非平凡解析映射，在有定義之處處保角，並有一個你很快會證明的非凡封閉性質：它們把每一條直線或圓送到另一條直線或圓。它們靈活到你可以指定任意三點該去哪裡，就有唯一一個莫比烏斯映射照辦——這是兩篇之後的三點原理。
有兩個具名映射會一再出現，因為它們解決一再出現的工作。凱萊變換 w = (z - i) / (z + i) 是那匹把上半平面保角地送到單位圓盤的主力——正是當問題住在半平面、而圓盤較容易時你想要的移植。茹科夫斯基映射 w = (z + 1/z) / 2 著名地把一個圓彎成翼型，並支撐著機翼升力的經典理論——生動地提醒你，這套幾何不只在證明裡，也在空氣動力學裡繳得起租金。
再退一步看，有一條令人屏息的定理保證，尋找移植幾乎從不失敗。黎曼映射定理說：「任何」不是整個平面的單連通區域，都能被保角地映射到單位圓盤。不過要誠實交代兩個但書：它排除了整個平面（不存在從平面到圓盤的保角映射，這是上一階梯的劉維爾定理逼出的事實），而且它是非構造性的——它保證映射存在，卻不交給你一個公式。「存在」與「就是這個」之間的這道鴻溝，正是上面那個具體工具箱為何如此要緊的原因。