最大模原理

內部沒有山峰

把全純函數的模 |f(z)| 想像成複平面上方一片地景的高度——你站在每個點 z 上，讀出 f 在那裡有多大。你那套在光滑實曲面上磨練出來的日常直覺，會預期這樣的地景該有山丘：一座座局部頂峰安詳地坐落在內部某處，四周全是較低的地面。最大模原理毫不含糊、毫無例外地說：這樣的內部頂峰根本不可能存在。若 f 在某區域上全純且不是常數，則 |f| 在內部任何地方都沒有局部極大值。你可能指望找到的每一座山峰，都已被推到了邊緣。

乾淨的操作版本講的是一個有界區域連同它的邊界。設 f 在有界區域 D 上全純，並連續到邊界。那麼模 |f| 在這個閉區域上的最大值，是在邊界曲線上取得的——而且，除非 f 是常數，它就「只」在那裡取得。所以要找 |f| 在一個圓盤、一個方塊、或任何漂亮區域上的最大值，你永遠不必搜尋內部：你沿著邊界走，往那裡看就好。整個內部，在某種意義上，是它邊緣的影子。

停下來體會這對實變數的人生有多麼陌生。一個像隆起 u(x) = 1 - x^2 那樣的實光滑函數，在 x = 0 處有一座輝煌的內部極大值；這是世上再平常不過的事。|f| 之所以不能這樣行事，並非因為複函數溫馴——而是因為全純是一個極為剛硬的條件，與本鞍級稍早逼得「一個複導數交出無窮多個」的，是同一份剛硬。在這裡，那份剛硬以「拒絕鼓起」的姿態現身。

為何平均化禁止山頂

引擎是你在本鞍級開篇那一講早已見過的一個事實。柯西公式在以 z_0 為圓心的圓上說：f(z_0) 是 f 沿那個圓的邊界值的「平均」——這就是平均值性質。令 z = z_0 + r e^(i theta)，公式坍縮為 f(z_0) =（1/2 pi）乘以 f(z_0 + r e^(i theta)) 對 theta 從 0 積到 2 pi 的積分。圓心處的值並不比鄰居大；它「恰恰」是鄰居們的平均。

Mean value property (Cauchy's formula on a circle of radius r):

  f(z_0) = (1/2 pi) * integral_0^{2 pi} f(z_0 + r e^(i theta)) d theta

Take modulus and pull it inside the average:

  |f(z_0)| <= (1/2 pi) * integral_0^{2 pi} |f(z_0 + r e^(i theta))| d theta

So |f| at the centre <= the average of |f| around the circle.

圓心的值是邊界值的平均——而平均永遠不可能超過被它平均的那些東西。

現在來夾擠。對兩邊取模，並用三角不等式（一個平均的模，至多是各模的平均）：|f(z_0)| 至多是 |f| 沿圓周的平均。為了反證，假設 z_0 是 |f| 的一個局部極大值。那麼在一個夠小的圓上，每個邊界值 |f| 都至多是 |f(z_0)|。但圓心等於它們的平均，而一堆全都 <= |f(z_0)| 的數，其平均要等於 |f(z_0)|，唯有當其中「每一個」都等於 |f(z_0)| 時才行。於是 |f| 在那整個圓周上都得是常數——再掃過所有小半徑，便在一整個小圓盤上都是常數。

最後一步把它封死。一個其模 |f| 在某開圓盤上為常數的全純函數，本身在那裡必為常數（一個快速的柯西-黎曼計算：若 |f|^2 = u^2 + v^2 是常數且 f 全純，算出來 f' 就是 0）。而一個在小圓盤上為常數的全純函數，依全純鞍級的恆等定理，在整個連通區域上都是常數。所以擁有內部極大值的唯一方式，就是處處為常數——這正是該原理，以反證的形式呈現。

最小值，以及它能躲在哪裡

很自然會問鏡像的問題：|f| 是否也拒絕擁有內部極小值？大致是的——但有一個你必須尊重的、誠實的例外。若 f 在區域內部沒有零點，則 1/f 也全純，把最大模原理用在 1/f 上，便把 |f| 的極小值翻成 |1/f| 的極大值，而後者在內部是被禁止的。這就是最小模原理：一個不取零值、非常數的全純函數，其最小的 |f| 也在邊界上取得。

這一切還有一個更深的讀法，它連回階梯較早處的調和函數。寫 f = u + i v，實部 u 是一個調和函數，而調和函數服從它們自己的極大值原理：u 也在邊界上取得它最大與最小的值。這並非巧合。模版本與調和版本是同一個平均化事實的兩張面孔——圓心處的值是其四周值的平均——這也正是為何整圈想法都從柯西公式向外輻射。

一道敞開的門：為何 |f| 沒有山峰

還有第二種、更幾何的方式看這條原理，值得知道，因為它揭示了真正在發生的事。一個非常數的全純函數是個開映射：它把開集送成開集。這就是開映射定理。其直覺是：在 f' 不為零的點附近，f 的作用像一個微小的旋轉加縮放——一個振幅扭轉（amplitwist）——所以 z_0 周圍的一個小圓盤，映成 f(z_0) 周圍的一個小圓盤（略微傾斜、略微縮放過），而 f(z_0) 坐在它的內部，不在它的邊緣上。

現在重點立刻浮現。若 |f| 在 z_0 有極大值，則 f(z_0) 會是像（image）中離原點盡可能遠的一個點——像集合「外緣」上的一個點，外面再沒有任何像。但開映射定理說 f(z_0) 是像的內點，所以附近存在嚴格更遠的像點，因而存在 |f| 嚴格更大的鄰近點。這與 z_0 是極大值矛盾。像不被允許擁有一條內部能觸及的邊緣，而 |f| 量的正是到那條邊緣的距離。

請留意，最大模原理如今安坐在一小簇後果之中，它們全都從本鞍級的柯西公式流出：無窮可微性、柯西估計、劉維爾定理並透過它導出的代數基本定理、莫雷拉逆定理，以及開映射定理。它們不是雜物袋；它們是同一份剛硬的不同受力點，而最大模原理是你幾乎能在那幅地景圖裡「看見」的一個。

讓它上工：施瓦茨引理

最大模原理不只是布景；它是把函數釘死的一件利器。最乾淨的示範是施瓦茨引理，一個體型小卻對共形幾何影響超乎尺寸的結果。設定如下：f 把開單位圓盤映入它自身、全純、且固定圓心，f(0) = 0。結論緊得驚人：處處有 |f(z)| <= |z|，且 |f'(0)| <= 1——一個釘住原點的全純自映射，什麼都放大不了。

因為 f(0) = 0，商 g(z) = f(z)/z 在 0 處有可去奇點，並延拓為整個圓盤上的全純函數（這用到本鞍級的冪級數事實：f 從一個 z 項起步，所以除以 z 很乾淨）。
在圓 |z| = r 上（剛好在圓盤內側），|f| < 1，故 |g(z)| = |f(z)|/r < 1/r。依最大模原理，那個在邊界圓上的界，在整個圓盤 |z| <= r 內也成立。
現在讓 r 攀向 1。界 |g(z)| <= 1/r 在圓盤每個固定點上收緊為 |g(z)| <= 1。這就是說 |f(z)| <= |z|；在 0 處取 g 得 g(0) = f'(0)，故也有 |f'(0)| <= 1。
剛性條款：若等號 |f(z)| = |z| 哪怕在「一個」內部點成立，則 |g| 在內部達到它的最大值 1，於是依該原理 g 是一個模為 1 的常數，逼得 f(z) =（常數）乘以 z——一個純粹的旋轉。