把柯西定理倒著讀
走到本階梯這一步，你已被訓練成期待奇蹟從全純「流出」。一個只可複微分一次的函數，正如前幾篇所示，便無窮可微、可用冪級數表示、剛硬到實分析給不出任何對應。其中最早的一樁奇蹟，來自積分那一階梯，就是柯西積分定理：若 f 在一塊好區域上全純，則 f 繞任何內部閉迴路的積分為零。全純送進去，消失的迴路積分送出來。
莫雷拉定理問了任何好數學家終究會問的大膽問題：我能不能把箭頭反過來走？假設我只「知道」f 在某開集上連續，而我碰巧觀察到它繞每一條閉迴路的積分都得零。光是連續是個孱弱的假設——存在汪洋般的連續函數處處不可微。然而莫雷拉定理宣告：這一條額外的事實，即所有迴路積分都消失，就足以逼出 f 完全全純。逆命題成立。
為何成立：先造一個原函數，再微分兩次
證明既短又可愛，而且完全倚靠你已信賴的工具。計畫是替 f 製造一個原函數——一個滿足 F'(z) = f(z) 的反導函數 F——再援引本階梯的頭條結果。一旦 F 存在且全純，F 便自動無窮可微；特別地 F'' 存在，這意味著 F' = f 本身就是全純的。我們從不直接去驗 f 的柯西-黎曼方程；我們是繞道經由一個反導函數悄悄逼近全純。
- 在 D 裡固定一個基準點 z_0，定義 F(z) 為 f 沿著「任何」一條留在 D 內、從 z_0 到 z 的路徑的積分。
- 驗證 F 定義良好——與所選路徑無關。這正是假設咬下去的地方：兩條路徑相差一條閉迴路，而迴路積分為零，於是兩個答案一致。
- 作差商 (F(z+h) - F(z)) / h。因為 F(z+h) - F(z) 不過是 f 沿那一小段直線的積分，所以這差商等於 f 在從 z 到 z+h 那一小段上的平均值。
- 讓 h 縮向零。因為 f 連續，它在一條消失中的小段上的平均值趨於它在 z 處的值，於是 F'(z) = f(z)。因此 F 全純，從而無窮可微，所以 f = F' 也全純。
第二步是整個論證的靈魂，也是為何假設要用三角形來陳述。要沿兩條路徑比較 F，你把它們縫成一條閉迴路；任何合理的迴路都能切成三角形，所以三角形上消失就逼出整條迴路上消失——這正是古薩三角形論證反著跑的精神。原先感覺如此孱弱的連續性，恰恰是第四步所需的潤滑劑：連續函數在縮小區間上的平均值，會平滑地滑向中心處的值。
一個小小的驗算，以及對漏洞的警告
讓我們看著這台機器拒絕誤導我們。取 f(z) = z-bar，也就是共軛，定義在整個平面上。它完美地連續，於是天真的讀者也許盼著莫雷拉把它變成全純——但我們從全純那一階梯知道，z-bar 處處不滿足柯西-黎曼方程，處處不複可微。因此莫雷拉「必須」找得到某個三角形，它的積分「不」消失，否則定理就錯了。把 z-bar 繞單位正方形或任何小三角形積分，你確實得到非零的答案（z-bar 繞一條迴路的積分等於 2 i 乘以所圍的面積）。假設失效，定理便不啟動。沒有矛盾；漏洞已封死。
為何莫雷拉是主力：證明「新」函數解析
這裡是讓莫雷拉在工具箱裡掙得一席之地的實用回報。檢驗柯西-黎曼方程意味著把 f 拆成實部與虛部再去微分它們——對 z^2 這類公式還行，對一個由積分或無窮和定義的函數則苦不堪言。但繞一個三角形積分而得零卻往往「容易」，因為在溫和條件下積分與極限、以及積分彼此之間都可交換次序。所以每當一個新函數是由某個顯然保持迴路積分消失的過程造出來時，莫雷拉就免費把全純交到你手上。
最乾淨的例子是由參數積分定義的函數，譬如 F(z) = 在某區間上對 t 積分 g(z, t) dt，其中對每個固定的 t，g 對 z 全純。要證 F 全純，把次序對調：F 的迴路積分等於 g 的迴路積分對 t 的積分，而依柯西，每個內層迴路積分為零。於是 F 的每條迴路積分都消失，莫雷拉便斷定 F 全純。這一招正是參數積分解析性的根基，並且小心操作後，也撐起你日後在階梯更高處將遇到的伽瑪函數與ζ函數的全純性。
F(z) = integral over t of g(z, t) dt loop integral of F = integral_loop ( integral_t g(z,t) dt ) dz = integral_t ( integral_loop g(z,t) dz ) dt <- swap order = integral_t ( 0 ) dt <- Cauchy: each is 0 = 0 so by Morera, F is holomorphic.
通往何處：極限仍全純，反射可拼接
莫雷拉的逆命題，是好幾條更深定理賴以擺動的樞紐。假設一列全純函數 f_n 在緊子集上一致收斂到極限 f。實分析警告你：可微函數的一致極限未必可微——想想角點如何形成。然而在這裡，因為每個 f_n 的迴路積分為零，而一致收斂讓你能把極限挪進積分內，所以極限 f 的每條迴路積分也是零。莫雷拉於是認證 f 全純。這就是迴路積分消失這個判準，扛起了柯西-黎曼方程扛不動的重活。
莫雷拉也驅動那些把函數分片拼起來的論證。譬如施瓦茲反射原理，取一個在上半平面全純、且在實軸某段上保持實值的函數，依規則 f(z-bar)-bar 把它反射到下半平面，接著需要確認這兩半會橫跨接縫融成單一的全純函數。在接縫「上」檢驗可微性很彆扭；改而驗證跨越實軸的迴路積分消失，莫雷拉便把兩半縫成單一的解析整體。每一次，都是同一道「連續加迴路積分消失」的食譜封住接合處。