從計數走向一幅局部畫像
在這一整階梯，你打造了一台會數數的機器。輻角原理把 f'/f 的積分變成「零點減極點」的個數；像曲線的繞圈數從幾何上給你同一個計數；羅雪定理讓你靠比較來定位零點；而開映射定理告訴你，非常數的全純映射會把開集送成開集。這最後一篇要把這一切一次兌現。我們不再問某個大區域裡有幾個零點，而是站在單獨一點上問：這個映射近看起來究竟長什麼樣子？
先把結論講在前頭，等下再去掙得它。在一點 z_0 附近，全純映射恰好只有兩種行為，而你拿到哪一種，由單獨一個導數決定。如果 f'(z_0) 不為零，這個映射在局部就是一個乾淨的一對一形變：它旋轉、伸縮，卻從不折疊，而且有一個全純的反函數。如果 f'(z_0) = 0——一個臨界點——那麼映射就會折疊，把一個小圓盤繞著它的像點纏上某個整數 m 圈。沒有中間地帶，也沒有第三種情況。這是驚人份量的剛性，而那些計數工具正好就是用來證明它的。
局部映射定理：每個值都被取到 m 次
令 w_0 = f(z_0)，並設 f(z) - w_0 在 z_0 處有一個 m 階零點。（若 f'(z_0) 不為零則 m = 1；臨界點恰好就是 m >= 2 的情形。）局部映射定理說：對於每一個夠靠近 w_0、但不等於 w_0 的值 w，方程 f(z) = w 在 z_0 附近的小圓盤裡恰好有 m 個相異解，每一個都是單零點。換句話說，在 z_0 附近這個映射是m 對 1 的。它把單獨那個值 w_0 取到一次（重數 m 全堆在同一點上），而把每個鄰近的值恰好取到 m 次，散在 m 個分開的點上。
證明就是輻角原理，穩穩地用一次。取一個夠小的圓，使得 z_0 是圓內 f(z) = w_0 的唯一解，且 f' 在圓內別處沒有零點。圓內 f(z) = w 的解的個數，就是 f'(z)/(f(z) - w) 繞這個圓的零點計數積分。在 w = w_0 時這個積分等於 m。但這個積分隨 w 連續變化，同時又永遠是整數——而一個連通集上連續的、取整數值的函數必為常數。於是它對每個鄰近的 w 都維持等於 m。又因為 f' 除了在 z_0 處外沒有零點，那 m 個根都是單根，因此確實是 m 個相異的點。
f(z) - w_0 ~ a_m (z - z_0)^m (a_m != 0, m >= 1)
solutions of f(z) = w near z_0 : m for every w near w_0, w != w_0
m = 1 <=> f'(z_0) != 0 (locally one-to-one)
m >= 2 <=> f'(z_0) = 0 (critical point, folds m times)為什麼它逼出開性與最大模原理
再看一次結論：w_0 附近的每個值其實都被取到。這代表 z_0 附近一個小圓盤的像，包含了 w_0 周圍一整個圓盤——像裡沒有缺失的點、沒有破洞、邊界也不會向內爬。這正是映射為開的意思，所以局部映射定理就是近看下的開映射定理。局部階數 m 不過是原像的個數，正是輻角原理數出來的那個 m。
開性立刻給了最大模原理一個透明的理由。假設 |f| 在 z_0 處有一個局部極大。z_0 的一個小鄰域的像是一個含有 w_0 = f(z_0) 的開集，於是它包含了模嚴格大於 |w_0| 的點——附近任意近處都有 f(z) 滿足 |f(z)| > |f(z_0)|。這與 z_0 是極大相矛盾。所以非常數的全純函數，其模絕不可能在內部有極大；最大模原理被逼了出來。不用估計、不用積分——只憑「像是開的」這個幾何事實，而極大會要求像在 w_0 處戛然而止。
非臨界的情形：一個全純反函數
現在專看 m = 1，也就是 f'(z_0) 不為零的情形。這時在 z_0 附近每個鄰近的值都被取到恰好一次：f 是局部一對一的（在小圓盤上是單射）。一個一對一、連續、映成開集的映射，在 w_0 附近有反函數 g，滿足 g(w_0) = z_0。全純反函數定理說得更多：這個反函數本身也是全純的，而且它的導數是 f' 在對應點處的倒數，g'(w) = 1 / f'(g(w))——就是你在實微積分裡認得的那條公式，如今全力地活在複平面上。
為什麼反函數是全純的，而不只是連續的？因為全純性可以由一個積分偵測出來。有一條乾淨的路把反函數明白寫出：g(w) 等於 z 乘以 f'(z) / (f(z) - w) 繞一個小圓的圍道積分，再除以 2 pi i。這個積分就是 f(z) = w 那唯一根的位置——輻角原理的一個加權版本——而它對參數 w 是全純依賴的，因為你可以在積分號下求導。於是局部反函數，正是由開啟這一階梯的那個計數積分親手交給你。這確實比實的反函數定理更強，在那裡要得到一個光滑的反函數還需要另外一段「導數連續」的論證。
- 做檢驗：確認 f'(z_0) 不為零。若它為零，你就在折疊的情形裡、沒有單值的局部反函數——請跳到下一節。
- 推得局部一對一：依 m = 1 的局部映射定理，f 在 z_0 周圍某個小圓盤 D 上是單射，並把 D 映成 w_0 = f(z_0) 周圍的一個開集。
- 把反函數命名為 g 並釘住它的值：g 把那個像映回 D，且 g(w_0) = z_0；它之所以存在且單值，正因為 f 在 D 上是單射。
- 升級為全純：g 是全純的（例如透過上面那個位置積分），而對 f(g(w)) = w 求導便得 g'(w) = 1 / f'(g(w))。
臨界的情形：一個乾淨的 m 次方根模型
當 f'(z_0) = 0 時，畫面不是一團混亂——而是單獨一個、徹底被理解了的形狀。若 z_0 處第一個不為零的導數是第 m 階，那麼存在一個全純的座標變換 phi，它在 z_0 附近自身可逆，使得在一個小圓盤上 f(z) = w_0 + phi(z)^m。把這句話慢慢讀：在對輸入做了一次光滑的全純重新標號之後，f 字面上就是 m 次方映射。所有的折疊、所有的 m 對 1 行為，全都濃縮進「z 的 m 次方」這唯一一個函數裡，這是最乾淨的模型。
想像平方映射 z 到 z^2 在原點處，那裡 m = 2。一條角度為 theta 的射線被送到角度 2 theta 的射線，所以實軸上方的半圓盤已經把整個去心圓盤覆蓋了一次，下半部再覆蓋第二次：小圓盤繞著像點纏了兩圈，而 0 附近每個非零的值都有兩個平方根原像。一般 m 階臨界點就是這同一部電影、把旋鈕轉到 m。這也說明了為什麼那裡不存在單值反函數：要反 z^m 就得選一個 m 次方根，這逼出一個分支點與一條分支割線——這個多值性是無可避免的，並不是努力不夠。
誠實的全景
退一步，整個階梯便扣進同一個畫框裡。f'/f 的積分負責計數；像曲線的輻角變化讓這個計數看得見；羅雪定理與赫維茲定理讓零點可以四處移動而不會偷偷冒出或消失；開映射定理把計數轉成幾何；而局部映射定理則逐點讀出全純映射僅被允許的兩種形狀：在 f' 非零處是一個可逆的扭轉，在它為零處是一個 m 重的方根折疊。計數從來不是目的，它是那根撬棍，撬開了全純映射的局部結構。
在你攀上去之前，先說兩條誠實的提醒。第一，這裡的一切都是局部的：它描述的是一個小圓盤，對整體不置一詞。f'(z) 處處不為零會在每一點給你一個局部反函數，但正如 e^z 所示，整體反函數未必存在；把這些局部反函數黏成一個，是關於分支、單值性定理（monodromy）與黎曼曲面的問題，那會在後面的階梯回答，不在這裡。第二，m 次方的標準型既精確又漂亮，但它只活在那一點附近——把圓盤往外推，別的臨界點與函數的整體形狀就會擠進來。局部結構是一台顯微鏡，不是整個國土的地圖；把這台顯微鏡摸到滾瓜爛熟，正是你日後得以讀懂那張更大地圖的本錢。