從計數到比較
本階梯前兩篇給了你一個數出函數在某迴路內零點數目的方法：輻角原理說 f'/f 的積分回傳 Z - P，而你也學會把這個計數看成像曲線 f(C) 繞原點的圈數。當你真的能畫或能積分時，這很美妙。但擺在你面前的函數常常醜得無法積分、亂得無法素描——比方說一個係數彆扭的高次多項式。於是我們換策略。與其從頭數起，我們改用一個零點早已爛熟於心的簡單函數，去比較那個醜函數。
直覺就是一幅實體畫面。想像你正牽著一隻狗繞邊界迴路 C 走。你是那個簡單函數 g(z)；狗是那個醜函數 f(z)；原點是一棵樹。只要牽繩比你到樹的距離還短，狗就絕不可能跑到樹的另一側去——所以牠繞樹的圈數和你完全一樣。把「牽繩比你到樹的距離短」翻成複數模，你一口氣就得到了魯歇定理：若差距 |f - g| 在整條邊界上都小於 |g|，那麼 f 與 g 繞原點的圈數相同，於是它們在內部有同樣多的零點。
定理的敘述，以及為什麼那條不等式扛起了一切
這是乾淨的敘述。設 C 是一條簡單閉圍道，且 f 與 g 在一個包含 C 及其內部的區域上全純。假設在 C 的每一點上都有 |f(z) - g(z)| < |g(z)|。那麼 f 與 g 在 C 內部有同樣多的零點，連同重數一起算。注意這條嚴格不等式只要在邊界上成立——你要檢查的全部就只有這個。內部會自己照顧好自己。
為什麼那條不等式逼出相等的零點數？首先，它悄悄保證了 f 與 g 在 C 上哪裡都不為零：若 g(z) = 0，不等式就成了 |f| < 0，不可能；若 f(z) = 0，它就說 |g| < |g|，也不可能。所以這兩個函數在邊界上都沒有零點，連輻角原理都能套用。現在把 f 寫成 g * (f/g) 並追蹤輻角。既然 |f - g| < |g| 意味著 |f/g - 1| < 1，比值 f/g 就把整條曲線 C 映進以 1 為心、半徑為 1 的開圓盤——這個圓盤嚴格地待在右邊，從不碰到 0。一條困在排除原點的圓盤裡的曲線，根本沒辦法繞原點轉：它對 0 的繞數為零。
現在輻角加總起來。f 繞 C 的輻角變化，等於 g 的輻角變化加上 (f/g) 的輻角變化。最後那一項為零，因為 f/g 從不繞原點。於是 arg f 與 arg g 變化了恰好相同的總量——f(C) 與 g(C) 繞原點的圈數相等——再由輻角原理（兩者都全純，所以沒有極點），它們的零點數一致。邊界上那條不等式做完了一切；我們從沒解過方程，也沒定位過任何一個根。
一個實算範例：多項式的根住在哪裡？
取 p(z) = z^5 + 3z + 1，問：在單位圓 |z| = 1 內有幾個根？手解五次方程是沒指望的，但魯歇把它變成一行檢查。訣竅是在你關心的邊界上，把 g 選成那個佔主導的項。在 |z| = 1 上，三個成分的大小是 |z^5| = 1、|3z| = 3、|1| = 1。中間那項 3z 最大，所以令 g(z) = 3z，把其餘的當作擾動。那麼 f - g（其中 f = p）就是 z^5 + 1，在圓上由三角不等式有 |z^5 + 1| <= |z|^5 + 1 = 2，而 |g| = |3z| = 3。既然 2 < 3，魯歇適用：p 在單位圓盤內的零點數和 g(z) = 3z 一樣——而 3z 恰有一個零點（在 0）。所以 p(z) = z^5 + 3z + 1 在單位圓內恰有一個根。
- 固定你關心的圍道——這裡是 |z| = 1——並把函數寫成若干項之和。
- 在那條圍道上比較各項的模，找出佔主導的項；叫它 g。它就是那個大小勝過其餘全部之和的項。
- 在整條圍道上驗證不等式 |f - g| < |g|，通常用三角不等式去界住剩下的那些項。
- 讀出答案：f 在內部的零點數和 g 一樣多——而 g 簡單到你一眼就能數出它的零點。
同樣的把戲，用不同半徑的圓把函數圈起來，就能定位所有的根。在大圓 |z| = 2 上，p 的主導項是 z^5（因為 |z^5| = 32 勝過 |3z + 1| <= 7），所以 p 在 |z| = 2 內有五個根——這正是代數基本定理以魯歇推論的身分重新登場。把兩個計數合起來：|z| = 1 內有一個根、|z| = 2 內有五個，所以恰有四個根住在環域 1 < |z| < 2 裡。魯歇把每個根都釘進了一圈環裡，卻沒算出其中任何一個。
對稱形式，以及邊界上的陷阱
有個看起來更俐落的變體值得認識，魯歇的對稱形式：若在 C 上 |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|，那麼 f 與 g 在內部有同樣多的零點。它對 f 與 g 對稱，假設也稍弱一些，但意義相同——這條不等式唯有在 f(z) 與 g(z) 指向恰好相反的方向時才會失效（此時 |f - g| 等於 |f| + |g|），而禁止這件事，正好就是禁止 f/g 越過負實軸去繞 0。無論哪種形式，核心都一樣：不讓這兩個函數在邊界的任何地方反向對齊。
再講一句關於你學到什麼的誠實提醒。魯歇告訴你零點的數目，從不告訴你它在圍道內的位置。看完上面的例子，你知道 p 在 |z| = 1 內有一個根，但魯歇不會悄悄告訴你它是靠近 0 還是靠近邊緣，也不會說它是不是實的。它是一份人口普查，不是一張地圖。要把某個根進一步釘死，你得用更小的圍道縮小重測，或者交棒給一個數值方法——魯歇早已告訴它該往哪裡找了。
赫維茲：撐過極限的零點
魯歇最深的回報，是它讓零點數在微小變動下保持穩定——而「微小變動」正是函數的極限所是的東西。這就給出了赫維茲定理。設一列全純函數 f_n 收斂到極限函數 f，在緊緻集上一致收斂（這是留數與冪級數那兩階梯上自然的收斂方式）。赫維茲說：若 f 不恆為零，那麼在任何邊界圓上不帶 f 之零點的圓盤裡，函數 f_n 最終會在內部有和 f 完全一樣多的零點。零點不會在極限中無中生有，也不會憑空消失；它們是守恆的。
證明純粹是魯歇。在選定的邊界圓上 f 沒有零點，所以由緊緻性，|f| 在那裡保持在某個正的下界 m 之上。一致收斂使得對所有夠大的 n，在那個圓上 |f_n - f| < m。這正是取 g = f 的魯歇不等式：於是對所有夠大的 n，f_n 與 f 在內部有相等的零點數。證畢。輻角原理給了我們計數；魯歇把計數變成比較；赫維茲又把比較變成一條沿著序列的守恆律。
退一步，看清這個階梯的形狀。一個積分，f'/f，數出零點減極點。在邊界上比較兩個函數，把這個計數變成魯歇的定位工具。過渡到極限，又把魯歇變成赫維茲的零點守恆。接下來，在第 4 篇，同樣那幅繞圈的畫面不再對著固定迴路，而是朝內瞄準，它逼使每個非常數的全純映射都把開集送到開集——這就是開映射定理——而最大模原理幾乎不費吹灰之力就從中掉了出來。