用一個積分數出零點與極點

一個看不見根的計數問題

在留數那一階梯，你學會了把圍道積分化成一筆有限的局部資料之和——留數定理告訴你，繞著一條閉迴路的積分等於 2 pi i 乘上被圈在裡面的那些留數之和。那是個求值積分的工具。現在我們把這台機器反過來開。我們會餵給它一個精心挑選的函數，然後讀出來的不是我們想要的某個數，而是一個計數：一個函數在某個區域內有幾個零點、又有幾個極點。最教人吃驚的地方在於，這個積分數出它們，卻從不把它們定位出來。你永遠不會去解 f(z) = 0；你只要繞著邊界走一圈，答案就自己掉了出來。

首先講清楚「幾個」是什麼意思，因為複分析數得很仔細。一個 m 階的零點——回想冪級數那一階梯的零點的階，那裡 f(z) = (z - z_0)^m 乘上一個非零的全純因子——要算作 m 個零點，而不是一個。一個 m 階的極點，也就是 1/(z - z_0)^m 那種誠實的無窮、帶著它自己的階，要算作 m 個極點。我們總是連同重數一起算。一個二重零點就是兩個零點；一個三階極點就是三個極點。把這套記帳法記在心裡——整條定理就建立在它上面。

對數導數：負責計數的那個函數

要拿去積分的那個聰明函數不是 f 本身，而是 f'/f，叫做 f 的對數導數，因為形式上它就是 log f(z) 的導數。你幾乎能猜到它為什麼會在乎零點：log f 恰好在 f 碰到 0 的地方爆掉，所以它的導數應該感受得到那場爆炸。讓我們把這份猜測弄精確。在 z_0 處一個 m 階零點附近，寫成 f(z) = (z - z_0)^m g(z)，其中 g 全純且 g(z_0) 不為零。求導、相除，看看什麼東西活了下來。

f(z)      = (z - z_0)^m * g(z),        g holomorphic,  g(z_0) != 0
f'(z)     = m (z - z_0)^(m-1) g(z) + (z - z_0)^m g'(z)
f'/f      = m / (z - z_0)  +  g'/g
           \____________/    \____/
          simple pole,        holomorphic near z_0
          residue = m         (no contribution)

在一個 m 階零點處，對數導數 f'/f 有一個單極點，其留數恰好是 m——也就是該零點的階。剩下的 g'/g 是全純的，不貢獻任何東西。

就是它了：f'/f 在每個 m 階零點處有一個等於 m 的留數。現在在極點處跑一遍一模一樣的代數。在 z_0 處一個 m 階極點附近，寫成 f(z) = (z - z_0)^(-m) h(z)，其中 h 全純且在 z_0 處非零。同樣的求導給出 f'/f = -m/(z - z_0) + h'/h，所以 f'/f 在那裡也有一個單極點，但這回留數是負 m。零點貢獻 +m；極點貢獻 -m。對數導數把 f 的每個零點與極點，都變成了 f'/f 的一個乾淨俐落的小小單極點，其留數就是那帶了正負號的階。

輻角原理，組裝完成

現在只要把留數定理對準 f'/f。設 C 是一條簡單閉圍道，逆時針繞行一次，並設 f 在 C 內部及其上是亞純的——也就是說，除了極點之外都全純——而且 f 在 C 上既沒有零點也沒有極點。在 C 內部，f'/f 唯一的奇點就是我們剛找到的那些單極點：每個零點處一個（留數 +階），每個極點處一個（留數 -階）。留數定理把它們全加起來。

(1 / 2 pi i) * integral over C of  f'(z)/f(z) dz  =  Z - P

   Z = number of zeros of f inside C  (counted with multiplicity)
   P = number of poles of f inside C  (counted with multiplicity)

輻角原理：對數導數的單獨一個圍道積分，回傳的就是零點減去極點，各自連同重數計算。

這就是輻角原理。左邊那個數零點的積分，原則上是個你能單憑邊界資料算出來的量——你繞著 C 走一圈，把 f'/f 積起來。右邊的 Z - P，則是一個純粹的內部結構計數。這個積分從沒問過零點在哪裡，只問有幾個、扣掉極點後的淨數。倘若你恰好知道 f 是全純的（沒有極點），那麼 P = 0，這個積分就名副其實地在數零點：例如一個n 次多項式，在一個夠大的圓內恰好有 n 個零點，而這個積分就會回傳 n。

為什麼它叫做輻角原理

我們是用留數導出 Z - P 的，但這名字來自同一個積分的第二種、更幾何的讀法——而正是這種讀法給了整個階梯它的味道。既然 f'/f 形式上就是 log f 對 z 的 d/dz，繞著 C 積分它，就是在積 d(log f)。把複對數拆成實部與虛部：log f = log|f| + i arg f。實部 log|f| 是單值的，所以當你在閉迴路 C 上回到起點時，它也回到了出發處，淨貢獻為零。會變的是虛部，arg f——也就是輸出 f(z) 的角度。

所以這個積分量的，是當 z 繞 C 走一圈時 arg f 的總變化量。把它想成實體的畫面：當 z 在邊界迴路上行走，輸出值 w = f(z) 在 w 平面上描出它自己的一條閉曲線。那條像曲線每繞原點轉滿一整圈，arg f 就增加 2 pi。輻角原理說，C 的像繞 0 的淨圈數就等於 Z - P。那個計數，就是輻角的淨變化除以 2 pi——而「一條閉曲線繞某點幾圈」這種計數，正是你在柯西定理初次繞迴路時遇過的繞數。

一個小小的實算，以及誠實的細則

讓我們動手數一個。取 f(z) = z^2，並讓 C 是單位圓 |z| = 1。一眼就看出 f 在原點有一個二重零點、沒有極點，所以我們預期 Z - P = 2 - 0 = 2。用兩種方法驗證。留數法：f'/f = 2z / z^2 = 2/z，在 0 處一個留數為 2 的單極點，於是積分給出 2。輻角法：用 z = e^(i theta)（theta 從 0 到 2 pi）參數化，於是 f(z) = e^(2 i theta)——當 z 繞一圈，輸出 e^(2 i theta) 掃過 4 pi 的角度，也就是繞原點兩圈。兩圈，Z - P = 2。兩種讀法一致，而且哪一種都沒真的去『找』零點，只說了中心有一個二重的。

誠實地檢查前提。圍道 C 必須是簡單且封閉的，而 f 必須在一個包含 C 及其內部的區域上是亞純的——除了孤立極點外都全純。
關鍵限制：f 在 C 本身上不可有任何零點、也不可有任何極點。若有零點坐落在邊界上，f'/f 在那裡爆掉，積分根本沒有定義——公式就是不適用，你必須縮小或挪動圍道。
留意定向。乾淨的 +2 pi i 計數假設 C 逆時針繞行一次。把方向反過來，每個計數都變號；把圍道繞兩圈，答案就加倍。
記得它回傳的是 Z - P，那個淨計數，不是單獨的 Z。要把零點單獨分離出來，你得另外知道極點的數目（通常 P = 0，因為 f 全純），而即使零點與極點同時存在，答案也可能是 0。

這就是整個階梯的引擎。從這一條恆等式出發，其餘的一切都靠比較長出來：若兩個函數在邊界上保持靠近，它們的像曲線就繞同樣的圈數，於是它們在內部有同樣多的零點——這就是魯歇定理，第 3 篇登場，是你不必解出任何東西就能定位零點的工具。同樣的繞圈想法逼使全純映射把開集送到開集，這是第 4 篇的開映射定理，它反過來又解釋了最大模原理。而讀出單一點附近的局部計數，就給出第 5 篇的 m 對 1 局部結構與反函數定理。一切都從這裡開始，從一個會計數的積分開始。