訊號、穩定性與 z 變換

一串數字，其實是個函數

在上一篇裡，我們看到布羅姆維奇圍道如何反演拉普拉斯變換——那是連續時間的故事。現在切換到電腦的世界，這裡的訊號不是時間的平滑函數，而是一串序列：樣本 x_0, x_1, x_2, ... 隨著每一次時脈滴答逐一到來。這正是數位音訊、控制迴路，以及你手機裡每一個濾波器的家。我們需要一件工具，對序列做出拉普拉斯變換對函數所做的事，而結果竟是你早已深刻理解的東西：一個冪級數。

序列 x_n 的 z 變換定義為級數 X(z) = sum x_n z^(-n)，對 n 的相關範圍求和。注意那個負指數：是 z^(-n)，不是 z^n。於是序列就變成一個關於 1/z 的級數，而這恰恰是一個羅朗級數——你在分類奇點時遇過的那種雙邊冪級數。樣本 x_n 不多不少，就是 X(z) 的羅朗係數。一個訊號與一個複變函數，可以說字面上就是同一個物件的兩種看法。

收斂域是一個圓環

羅朗級數並非處處收斂——它在一個圓環 r < |z| < R 上收斂。這裡也是如此，工程師給這個圓環取了自己的名字：收斂域，簡稱 ROC。這個圓環從哪裡來？正 n 的項（過去與當下的樣本，x_0 z^0 + x_1 z^(-1) + ...）是 1/z 的乘冪；當 |z| 夠大時它們收斂，給出外側條件 |z| > r。任何負 n 的項則是貨真價實的 z 的乘冪，當 |z| 夠小時收斂，給出 |z| < R。兩者合起來，正是你早已熟悉的收斂圓環。

這不是腳註——它是整門學問的縮影。同一個公式 X(z) 可以在好幾個不同的圓環上收斂，而每一個圓環都對應到一個不同的序列 x_n。一個因果訊號（在時刻零之前保持靜默的訊號）住在某個圓盤之外；反因果訊號住在裡面；雙邊訊號則住在兩個半徑之間、貨真價實的圓環裡。所以你無法單憑公式反演一個 z 變換：你還必須被告知 ROC。代數定下了極點；圓環則告訴你，你站在每個極點的哪一側。

X(z) = sum_{n>=0} a^n z^(-n) = 1 / (1 - a z^(-1)) = z / (z - a)

  pole at z = a        ROC: |z| > |a|   ->  x_n = a^n  for n >= 0  (causal)
  same formula         ROC: |z| < |a|   ->  x_n = -a^n for n < 0   (anticausal)

同一個代數式、同一個位於 z = a 的極點，卻因 ROC 落在 |z| = |a| 的哪一側，而對應到兩個不同的序列。

極點與單位圓決定穩定性

現在來收成。一個濾波器在工程意義上是穩定的——有界的輸入產生有界的輸出，沒有任何東西逃逸到無窮——恰恰發生在它的脈衝響應 x_n 絕對可和的時候，也就是 sum |x_n| < infinity。從我們的玩具例子 x_n = a^n 來看，那個和為有限，正好在 |a| < 1 時成立。當極點坐落在單位圓 |z| = 1 之內，幾何序列衰減；當極點坐落在圓外，它便爆炸。一整段訊號隨時間的行為，竟可從平面上單獨一個點的位置讀出。

對一個因果濾波器而言，這收斂成全工程界最乾淨俐落的規則之一：一個因果系統穩定，當且僅當它的轉移函數的每一個極點都嚴格落在單位圓內。單位圓 |z| = 1 就是秩序與混沌之間的分界線。（這是連續時間規則在 z 平面上的表親；在那裡，穩定意味著每個極點的實部為負——落在左半平面。把左半平面映到單位圓盤的共形映射，正是把一條規則搬運成另一條規則的關鍵。）

轉移函數，以及如何讀出它

大多數有用的濾波器，都由一條遞迴關係式描述：新的輸出是近期輸入與近期輸出的加權混合，例如 y_n = x_n + 0.5 y_(n-1)。取 z 變換後，每一個「延遲一個時脈」都化為一個 z^(-1) 因子，於是遞迴關係式變成一條單純的代數方程，再解出比值 Y(z)/X(z)，便得到一個有理函數 H(z)。這就是 轉移函數——一個多項式之比，其分母的根即極點，分子的根即零點。那個讓拉普拉斯變換如此強大的「微分方程化為代數」的把戲，在這裡如出一轍地奏效。

一旦你把 H(z) 寫成有理函數，要還原脈衝響應就是一個圍道積分。逆 z 變換為 x_n = (1 / 2 pi i) 乘上沿著 ROC 內某個圓周對 X(z) z^(n-1) dz 所作的積分，而這個積分由留數定理求值——你只需把圓周所圍住的那些極點上的留數加總起來。這正是上一篇布羅姆維奇圍道在離散世界裡的回聲：在那裡你沿一條鉛直線往上走，在這裡你繞著一個圓走，但兩種情形下，極點上的留數就是時域裡的答案。

寫下濾波器的遞迴關係，例如 y_n = x_n + 0.5 y_(n-1)，並對它取 z 變換：Y(z) = X(z) + 0.5 z^(-1) Y(z)。
解出轉移函數：H(z) = Y(z)/X(z) = 1 / (1 - 0.5 z^(-1)) = z / (z - 0.5)。
找出極點：z = 0.5。由於 |0.5| < 1，極點落在單位圓內，因此這個因果濾波器是穩定的。
以留數反演來讀出脈衝響應：x_n = (0.5)^n（n >= 0）——一道緩緩衰減的回聲，正是一個落在圓內的穩定極點該給出的東西。

數圈圈：論證原理再度登場

當 H 太過糾結、難以手算分解，或者一個回饋迴路改變了極點時，你該如何檢查穩定性？你用數的，而那件數數的工具，你早已擁有。論證原理說：當 z 沿一條閉圍道行進時，像曲線 H(z) 繞原點的圈數，等於（內部零點數）減去（內部極點數）。讓沿單位圓的圍道穿過迴路的開迴路函數，看看輸出繞一個臨界點繞了幾圈。這就是 奈奎斯特判據，它不過是戴上工程師帽子的論證原理罷了。

這幅圖像美妙地具體。閉迴路系統不穩定，恰恰發生在開迴路響應——隨頻率掃過單位圓而在平面上畫出的那條曲線——繞臨界點繞了「不對的圈數」的時候。不必分解、不必求解——只要盯著一條曲線、數它繞一個點的圈數，正是當年在論證原理那一級驅動了儒歇定理的同一個繞數概念。一整個穩定性問題，就此塌縮成一句話：這個迴圈繞那個點繞了幾圈？