藏在取樣點裡的免費午餐
你到目前為止見過的每一個求積規則，都把一個積分近似成函數值的加權和：f 在 [a, b] 上的積分被換成 w_1 f(x_1) + w_2 f(x_2) + ... + w_n f(x_n)。在上一篇的牛頓-柯特斯規則裡——梯形法、辛普森法和它們的親戚——取點 x_i 是事先固定的，均勻分布在整個區間上，只有權重 w_i 由你來挑。用 n 個均勻取點，你能符合每一個次數約到 n-1 的多項式（對稱的辛普森家族再多一點）。那看起來就是全部的遊戲了。其實不是。
這裡有個開創了一整門學問的想法。取點為什麼非得固定不可？把位置 x_1, ..., x_n 也當成未知數。現在你有 2n 個旋鈕可以轉——n 個權重加 n 個位置——而不只是 n 個。一個規則有 2n 個自由參數，所以靠一個簡單的計數論證，你應該能讓它對「擁有 2n 個自由係數的函數族」精確：也就是次數直到 2n-1 的多項式，它們恰好有 2n 個係數（1, x, x^2, ..., x^{2n-1}）。這就是高斯求積法的承諾：n 個最佳安置的點，把每一個次數不超過 2n-1 的多項式積得零誤差。兩點達到 3 次；三點達到 5 次；五點達到 9 次。
為什麼最佳取點是某個特殊多項式的根
祕密在於一個美麗的事實：最佳取點並非隨意——它們是某個正交多項式的根。在標準區間 [-1, 1] 上工作（任何 [a, b] 都能用線性換元映到它上面）。相關的族是勒讓德多項式 P_0, P_1, P_2, ...，其中 P_n 的次數是 n，而這個族是正交的：P_m 乘 P_n 在 [-1, 1] 上的積分，只要 m 不等於 n 就為零。把你的 n 個取樣點恰好放在 P_n 的 n 個根上——它們全落在 (-1, 1) 之內——再選好對應的權重，2n-1 次的魔法就自動掉出來。這就是高斯-勒讓德求積法。
正交性為何能成事，值得親眼一看，因為它就是整台引擎。取任何次數直到 2n-1 的多項式 f。用 P_n 去除它：f = q P_n + r，其中商 q 和餘式 r 的次數各自至多 n-1。積分。含 q P_n 的那一項消失——這正是正交性的陳述，因為 q（次數 < n）是 P_0, ..., P_{n-1} 的組合，每一個都與 P_n 正交。於是 f 的真積分等於單獨 r 的積分。同時，在每個取樣點 x_i 上我們有 P_n(x_i) = 0（取點就是它的根！），所以 f(x_i) = r(x_i)：規則根本看不到 q P_n 那一部分。真積分和規則都歸結到同一個 n-1 次的餘式 r，而一個 n 點規則對它是精確的。因此誤差為零。這兩個事實——正交性在真積分裡殺掉商，根在求和裡殺掉商——完美地扣在一起。
Gauss-Legendre nodes/weights on [-1, 1]:
n = 1: x = 0 w = 2
n = 2: x = +-0.5773502692 (=+-1/sqrt3)
w = 1, 1
n = 3: x = 0, +-0.7745966692
w = 8/9, 5/9, 5/9
exact for all polynomials up to degree 2n-1.
map [-1,1] -> [a,b]: t = (a+b)/2 + (b-a)/2 * x
integral_a^b f dt ~= (b-a)/2 * sum_i w_i f(t_i)
weights are always positive and sum to 2 (the length of [-1,1]).它替你買到什麼，又要付什麼代價
回報極為戲劇化。在相同的函數計算次數下，一個 n 點高斯規則通常把一個 n 點牛頓-柯特斯規則的誤差殲滅掉。一個小小的演算範例：把 f(x) = x^4 從 -1 積到 1，精確值是 2/5 = 0.4。兩點高斯規則在 +-1/sqrt(3) 取樣、權重各為 1，得到 1*(1/sqrt3)^4 + 1*(-1/sqrt3)^4 = 2*(1/9) = 2/9……這不是 0.4，因為 4 次超過了 2*2-1 = 3，所以兩點搆不到它。加到三點（精確到 5 次），規則就把 0.4 算到最後一位數。牛頓-柯特斯要符合一個平滑被積函數到相同精度，得用多得多的均勻取點。
還有兩個實務上的優點。第一，權重全為正（不像高階牛頓-柯特斯，它的權重會變負並災難性地放大捨入誤差）。正權重意味著規則無法放大你那些 f(x_i) 值裡的浮點誤差——即使在高階也保持數值上守規矩。第二，高斯規則躲過了龍格現象：因為它的取點朝區間兩端聚集（而非均勻鋪開），它的行為就像在那種「聚集型取點」上做內插，而那正是馴服「毀掉高次均勻規則的狂野振盪」的取點。在這裡，高階是真的能用的。
高斯法在眾規則中的定位，與它的極限
高斯求積法並非永遠是對的選擇，認識它的對手很值得。一個麻煩：n 點的取點和 n+1 點的取點毫無共通，所以如果 5 點的估計不夠準，你 7 點的重試就得把五個舊的計算全部丟掉、重頭開始。當每次算 f 都很貴時，這很浪費。修法是用一個嵌套的族。克倫蕭-柯蒂斯求積法用切比雪夫點，在加密時重用舊樣本，對許多平滑函數與高斯法不相上下；而高斯-克朗羅德對則在高斯規則上恰好添入額外的點，好讓兩個估計之間那個算起來便宜的差，充當一個內建的誤差量尺。
那個內建的誤差估計，正是下一篇主題的種子——其實是下一級的：一個自適應求積法常式在一個區間上施行高斯-克朗羅德對，讀出誤差估計，若太大，就把區間一分為二並遞迴——在 f 抖動處密集地花取點，在它平靜處稀疏地花。這跟本級稍早的理查森外推法與龍貝格法是同一種精神：別盲目選定解析度，讓方法量測自己的誤差、自行加密。一個現代函式庫的積分器（多數科學軟體背後的 QUADPACK 常式），正是一台自適應的高斯-克朗羅德引擎。
現在來談那道硬牆，以及本級反覆出現的教訓。這些規則回傳的每一個數都是近似值，在浮點數裡算出來——那裡 0.1 沒有精確的二進位形式，一串長和也從不結合——所以即使是上面 x^4 那個理論上精確的兩點高斯答案，也帶著末幾位裡幾個單位的捨入而來。更要緊的是，這一切都活在一維裡。高斯求積法的超能力是「次數」，而次數對抗維度詛咒幾乎買不到什麼：一個 n 點的一維規則，在 d 維裡變成一張 n^d 點的網格，所以每軸 20 點，在十維裡就是 20^10、約十兆次計算。過了寥寥數維，你就得徹底拋棄網格、轉向蒙地卡羅積分——它 O(1/sqrt(N)) 的誤差慢得磨人，但關鍵在於：它不在乎到底有多少維。高斯法擁有平滑的低維積分；隨機性擁有高維的那一個。