能带结构到底告诉你什么
在比较这两条路之前，咱们先把它们共同的终点钉死。我们已经知道，一块固体提供了一条条被允许能量的能带。但能带内部还藏着更多细节：一个电子的能量，取决于它的波*以多快的速度、朝哪个方向*在晶体里荡漾。把“这种波动对应那个能量”完整画成的那张图，叫做[[band-structure|能带结构]]；而把波动和能量连起来的那条规则，叫做它的[[dispersion-relation|色散关系]]。
“色散”这个词，借自玻璃棱镜把白光铺散成各种颜色的那种方式：每一种颜色都是一道波纹间距不同的波，被弯折的程度也不一样。对电子来说，色散关系同样告诉你：当波的波纹间距改变时，能量是怎样跟着变的。曲线弯得越缓，电子就越迟钝、越重；弯得越急，它就越轻盈、越灵活。我们接下来要走的两条路，无非就是计算这同一条“能量随波动而变”的曲线的两种不同办法。
第一条路：从粘在原子上的电子出发
第一条路，叫做[[tight-binding-model|紧束缚模型]]，它从第一篇的图景起步。设想每个电子大体上都安于待在自己的“老家原子”上，坐在那些尖锐原子能级中的某一个里，只是偶尔才隧穿到隔壁去串个门。电子被*紧紧束缚*在它的原子上，名字便由此而来。我们先拿孤立原子的答案打底，然后轻轻地追问：一旦“跳到隔壁”成为可能，又会有什么变化？
答案，正是第一篇里那个“裂分”的故事，只不过这回讲得带上了数量。电子从一个原子跳到下一个越容易，那根尖锐的原子谱线就拓宽得越成一条能带——于是这条能带的*宽度*，由相邻电子云交叠得有多厉害来决定。攥得很紧、几乎不交叠的电子，给出又窄又平的能带；攥得很松、交叠得很厉害的外层电子，则给出又宽又有弹性的能带。这条路对付紧束缚的电子妙极了，而且它把电子与底下原子、与它们的化学键之间的联系，理得清清楚楚、漂漂亮亮。
第二条路：从几乎自由游荡的电子出发
第二条路，叫做[[nearly-free-electron-model|近自由电子模型]]，它从相反的那个角落动身。先把原子暂时忘掉；把外层电子想象成一团气体，几乎自由地飘过整块固体，差不多压根没注意到那些原子核。一个真正自由的电子，会有一条平滑、无缝的色散——能量随它跑得越快而温和地、连续地上升，没有能带，也没有任何禁区。然后我们再把原子开回来，但只把它们当成地形里一道*轻微的*重复起伏、一片淡淡的[[periodic-potential|周期势]]，再来追问：这点微弱的波纹起伏，究竟干了些什么？
下面是个可爱的惊喜。多数时候，那点微弱的起伏几乎无关紧要，电子几乎像自由时那样一路滑行。可在某些特殊的波纹间距上——也就是恰好与那道重复起伏对得上的间距——电子波会从一排排原子上弹回来、反射到自己身上，这正是造出衍射光斑的那种“互相增强的反射”。在那些间距上，电子干脆走不动了，于是裂开一道能隙。所以，只消给自由电子加上一*丝*周期性，就能把平滑的自由电子曲线雕刻成一条条被[[band-gap|能隙]]隔开的能带——这是从另一个方向，走到了完全相同的那张能带结构跟前。
同一座山，两条登山道
两个如此南辕北辙的出发点——攥得死紧的电子，对几乎撒腿乱跑的电子——竟然都走到了被缝隙隔开的能带跟前，这感觉简直像个小小的奇迹。可其实大可不必惊讶。两条路，都不过是在老老实实地问同一个问题：在一片重复的地形里，一个电子波能拥有哪些能量？只要真实情形更靠近哪一个极端，那条路就更省力、也更准；但谁也不比谁*更正确*。它们是登同一座山的两条道，最终在山顶会合。
- 紧束缚之路：从孤立原子的尖锐能级出发，再让电子跳到邻居那儿——“跳跃”把每个能级拓宽成一条能带，交叠越多，能带越宽。
- 近自由之路：从自由、无缝的电子出发，再开启一道微弱的周期起伏——这起伏反射掉某些波、裂开缝隙，把平滑的曲线雕刻成一条条能带。
- 两条路都走到了同一处：一条条被禁止入内的缝隙隔开的、被允许能量的能带——也就是能带结构。
- 看你的材料挑路走：紧束缚之路对付攥得紧的电子，近自由之路对付松松游荡的电子。