对称性究竟是什么意思
在日常说话里，我们把“对称”用得很随意，无非是“匀称”或“好看”的意思，但在物理学里它有一个锋利而管用的定义：所谓对称性，是指你能对一个物体施加的、做完之后让它看起来与之前一模一样的任何动作。把一个普通的正方形转过四分之一圈，它会落回自身，与起初分辨不出差别——所以这四分之一圈就是正方形的一个对称性。把它转过某个奇怪的角度，它就歪着坐在那儿；那个动作就不是对称性。检验的标准永远是同一个直白的问题：做完这个动作之后，你还能看出有什么变了吗？如果看不出，你就找到了一个对称性。
晶体彻头彻尾地浸透着这种“看起来一样”，因为它们正是由一种图案一遍又一遍重复搭成的。研究哪些动作能让一块晶体保持不变，这门学问叫作晶体对称性，它是整个领域里最深刻的组织性观念。正是它解释了为什么晶体只有严格有限的几种类型——为什么大自然提供的是这一份形状菜单，而非别的。要考虑的基本动作只有寥寥几类，那就让我们一种一种地来认识它们。
基本动作：旋转、反射、反演
有三类动作能让一个点固定不动——它们围绕一个中心、一根轴、或一面镜子来旋转或翻转物体，而不把它滑到任何别处。
- 旋转——绕一根轴转动物体。如果把它转过整圈的三分之一（再转、再转）总能落回自身，它就有一根三重旋转轴。雪花以拥有一根六重轴而著称：把它转过六分之一圈，它看起来纹丝未变。
- 反射——把物体对着一面镜子翻转，左右互换。如果镜中像与原物分辨不出，那面镜子就是一个对称性。在这个意义上，你的两只手彼此*并非*镜像对称——左手套套不进右手——这也是为什么“左右手性”在晶体里同样要紧。
- 反演——把物体的每一部分，都直直地穿过单独一个中心点、再从对面以相等的距离穿出去，等于让它从中心处里外翻转。如果这样做完它看起来还是老样子，这个物体就有一个反演中心。
现在，对于一块给定的晶体，把这些“让点固定”的动作收集成完整的一套——每一个能让它保持不变的旋转、反射和反演。这套收集起来的集合，叫作这块晶体的点群。“点”这个字是关键：这些动作里的每一个，都至少让晶体的某一个点固定不动，而把其余部分重新洗牌。点群是对一块晶体整个“旋转与镜像性格”的紧凑概括，写成一份利落的对称性清单。
被禁止的五重对称：为什么重复限制了对称
下面是“身为一块晶体”所带来的最美的一个推论，而它源自一条严苛的约束。晶体必须完美地铺满空间——它的图案重复着，不留缝隙——而这条要求干脆利落地禁掉了大多数旋转对称。令人惊讶的是，一块重复的晶体只能拥有二重、三重、四重或六重的旋转轴。五重对称——五角星或正五边形的那种对称——在一块真正重复的晶体里是断然不可能的。七重、八重，以及其余所有的，也同样不可能。
你可以在脑子里做一个铺地砖的实验来体会其中缘由。试着只用正五边形去铺满一片厨房地板：无论你怎么转动它们，碍事的空隙都会冒出来，因为五边形就是没法绕着一个点一边挨一边地拼合。正方形拼得起来，三角形拼得起来，六边形拼得起来——而这些恰恰就是那些“旋转对称性被晶体准许保留”的形状。其中深刻的关联在于：一种重复的图案，与一种五重旋转，在数学上是不相容的。让晶体之所以为晶体的那种井然有序的重复，恰恰就是把五边形禁掉的那个东西。
把滑动也加进来：完整的空间群
到目前为止，我们的动作都把某一个点钉住了。但晶体还有一种眼睛几乎会忘掉的对称性：你可以把整个无限的图案拎起来，*滑动*恰好一个重复的距离，它就完美地落回自身。这种滑动的动作叫作平移，它正是晶体重复性的招牌标记——前面那篇指南里的布拉维格子，真正在编目的就是它。要完整地描述一块晶体，你必须把点群的对称（那些旋转和翻转）与这些平移（那些滑动）结合起来。
把一块晶体所拥有的每一个对称性——它所有的旋转、反射、反演，*以及*它所有的平移，再加上这两者的几种巧妙组合——完整地收集起来，就叫作它的空间群。如果说点群描述的是一个静止的母题单独的对称性，那么空间群描述的，就是整片无尽晶格的对称性。它是一块晶体结构那完整、最终的指纹。两块拥有同一个空间群的晶体，共享着同样深层的建筑结构，哪怕它们由全然不同的原子构成。
而这里就是那个宏大的回报，是这整篇指南一路铺垫、所朝向的那个时刻。当数学家们数清了在三维空间里、把那些被允许的点对称与平移相结合的所有彼此不同的方式时，答案竟是有限而精确的：空间群恰好有 230 个。就这么多——230 种可能的深层建筑结构，而*一切存在的、或可能存在的晶体*，都归属于这 230 个之一。整个铺天盖地的矿物王国、每一种金属、每一颗宝石、每一块蛋白质晶体、所有尚待发现的结构——它们全都被分门别类，无一例外地归入一份恰好有 230 个条目的总名单。
为什么对称性不只是整齐而已
哪怕对称性只是一套出色的归档系统，那也就够了，可它做的远不止于此——它支配着一块晶体如何*行事*。有一条深刻的原理贯穿整个物理学：一种材料的性质，必须尊重它的对称性。如果一块晶体沿两个不同方向看起来一模一样，那么它沿这两个方向的推压、导电、弯折也必定一模一样。换句话说，对称性决定了一种材料*究竟被允许*拥有哪些物理效应。一块在某种意义上过于对称的晶体，就是无法——比方说——在你挤压它时产生电压；早在做任何实验之前，对称性就已经把这件事禁掉了。
正因如此，晶体学家几乎在做任何别的事情之前，先测出一块晶体的空间群：知道了对称性，就等于提前知道了这种材料对电、光、压力和磁场的全部响应方式的整体轮廓。对称性不是一个好看的事后补充；它是一套材料被迫服从的规则，而在你弄清原子如何重复的那一刻，它就被白白地交到了你手里。