孤独电子这个方便的谎言
到目前为止，你学到的关于金属的几乎一切，都建立在一个不动声色的小谎言上。在[[free-electron-model|自由电子模型]]里，我们把金属中的电子想象成一群自由飞来飞去的粒子，像气体一样，几乎不在乎彼此。这幅图景出奇地好用——它解释了金属为何导电、为何导热、大致导多少。但它靠的，是假装每个电子在旅行时仿佛其他电子都不存在。这是一个图方便的谎言。而和大多数图方便的谎言一样，它没出事时一切都好，直到它突然出了事。
麻烦就在这里。电子并不是彬彬有礼、互不相干的陌生人。每个电子都带着负电荷，而同种电荷会相互推开。所以一个真实的电子并不是滑行在空荡荡的虚空里——它无时无刻不在推搡周围的每一个电子，也被它们推搡。当我们如实地把这种推搡写下来时，那个整洁的单粒子故事就垮掉了。这整条学习线的主题，正是：当电子拒绝无视彼此时，我们该怎么办。
库仑排斥：永不关闭的那股推力
两个同种电荷之间彼此感受到的那股力，有个名字：[[coulomb-repulsion|库仑排斥]]。规则简单而无情。两个电子靠得越近，就推得越用力，而且这股推力增长得很快——距离减半，力就变成四倍。两个电子永远无法在同一片地盘上都过得舒坦；每一个都巴不得对方走开。这并不是什么稀奇古怪的特殊效应。它是化学中最寻常的一种力，每一秒都存在于每一个原子、每一根导线之中。
想象一个拥挤的舞池，每个人都穿着一件缝了磁铁的外套，磁极全都朝同一个方向，所以外套之间相互排斥。没有人能走直线。你刚一靠近某人，就被挤到一旁；与此同时，你的靠近也把对方挤开。每个人的路线都被别人的路线弯折。这就是一整块金属里的电子，从早到晚。自由电子模型把这些舞者画成了能彼此穿身而过的幽灵。库仑排斥说，他们做不到。
当这些舞者像这样彼此绕行——当每一个人的运动都被其他人所在的位置塑造——物理学家就说，他们的运动是关联的。这个词是这整条学习线的核心。[[electron-correlation|电子关联]]的意思很简单：在这里找到某个电子的概率，取决于其他电子都在哪儿。它们不是各自独立的。它们彼此盯着。而只要它们这么做，孤独电子那幅图景就开始漏水。
为什么简单图景竟然管用过：屏蔽
现在有个合理的疑问：如果每个电子都在推每个其他电子，而且这股推力横跨整块金属，那自由电子模型究竟是怎么蒙对任何东西的？答案是这门学科里最可爱的想法之一，叫作[[screening|屏蔽]]。是人群自己，把它的成员彼此遮挡了起来。
它是这样运作的。挑出一个电子。它的负电荷把其他电子推开，于是在它周围立刻形成一个小气泡，泡里电子稀少。因为那些电子离开了，气泡里那些带正电的原子核就不再被完全抵消，于是气泡看上去微微带正电——一团淡淡的正电荷云便冒了出来，把我们这个电子裹了起来。从远处看，这个电子连同它的正电外衣，几乎像是中性的。它那原本伸得很远的影响被捂住了。除非别的电子靠得相当近，否则几乎感觉不到它。
所以自由电子那幅图景并不完全错；它是一幅被屏蔽过的电子的图景。相互作用并没有消失——是人群把它们打扮成了一记又淡、又局部的轻推。当屏蔽很强时，你几乎可以忘掉关联，简单模型便熠熠生辉。这条学习线真正的好戏，恰恰从屏蔽失效、电子之间那股赤裸推力依旧响亮的地方开演。
为什么这件事如此之难：多体问题
如果你只想描述一个电子，你追踪一样东西就够了。但一块真实的金属里大约装着十亿亿亿个电子，每一个的路线都被其他所有电子弯折。要跟住整支舞，原则上你必须同时盯住每一个舞者，因为只要挪动其中任何一个，其余的就重新洗牌。这个令人发怵的死结，就叫作[[many-body-problem|多体问题]]：描述一大群彼此都相互作用的粒子这一难题——你没法在不解出全部的情况下，单独解出某一个。
两个粒子？做得到。三个粒子互相拉扯？已经缠得没法精确求解了，连引力都不行，连行星都不行。现在把这个数字想象成后面跟着二十七个零。任何造得出来的计算机，都存不下那么多彼此牵连的运动。这不是我们暂时不够聪明留下的缺口；这是一堵墙。这条学习线里几乎每一个想法，都是一种翻越这堵墙的办法——去找一幅更聪明、更简单、却依旧讲真话的图景。
- 诚实地起步：写下每一个电子，以及每一对电子之间的每一股推力。这是精确的——也是无望求解的。
- 留意屏蔽：大部分长程推力相互抵消，只剩下一记淡淡的局部推力。
- 盼着剩下的那股推力弱到几乎可以忽略——那么自由电子模型就是一个够好的故事。
- 当它并不弱时，你面对的就是一个强关联系统，你需要这条学习线后面那些更大胆的想法。
当人群占了上风：强关联物质
有些材料里，屏蔽十分孱弱，推搡主宰着一切——一个电子的行为，更多是由邻居们在做什么决定的，而不是由任何外部规则决定的。物理学家把这些叫作[[strongly-correlated-system|强关联系统]]。在它们当中，孤独电子这个图方便的谎言不再是一句无伤大雅的善意谎言；它是彻头彻尾的错。这些材料绝非稀奇的小玩意儿。它们包括我们所知最受珍视的一些材料：磁体、某些氧化物，以及至今仍让物理学家困惑的高温超导体。
而这正是这条学习线后续部分美妙的回报。当电子不再表现得像一团彬彬有礼的[[electron-gas|电子气]]，而开始像一支步调紧密一致的人群那样运动时，它们不仅让数学变得更难——它们还会催生出全新的行为，那是任何单个电子都绝不可能展现的。人群能做到个人做不到的事：它能集体奔逃，能排成一列队伍，能在一瞬间齐齐安静下来。仅仅出于关联，物质便变出了看似近乎魔法的效应。接下来的几讲，正是对那种魔法的一次巡游——如实道来。