电子是一道波
要理解接下来的怪异，你必须牢牢抓住一个量子观念：电子不是一个小小的台球。它同时也是一道波——一道铺展开来、有波峰有波谷的概率涟漪，能做普通波所能做的一切。它能绕过拐角流动，能与自身叠加，而最关键的是，它能干涉：一道波的两部分相遇，峰对峰时彼此加强，峰遇谷时彼此抵消。这不是诗；这是被测量出来的事实，也是本讲一切的引擎。
在一块完美晶体里，一道电子波几乎毫发无伤地滑过——整齐的重复方格让波干干净净地通过，这正是好晶体之所以是好[[metal|金属]]的原因。上一讲我们看到，零散的[[defect|缺陷]]会绊住波、让它慢下来，降低[[mobility|迁移率]]。一个自然的预期很简单：添更多无序，让电子被散射得更频繁，导电就稳步变差——一场平滑、渐进的下滑。1958年，物理学家菲利普·安德森证明，这个让人安心的预期是错的。取而代之发生的，是某种突兀而惊人的事。
一片由随机丘陵组成的地貌
把电子想象成一颗滚过一片地貌的弹珠。在完美晶体里，那片地貌是一块平滑、规则起伏的地板——弹珠能在上面永远轻松地滚动。现在把地板弄得无序：在上面铺满高低深浅随机、毫无图案、四处散落的丘陵和坑洼。物理学家把这种杂乱的地形叫作[[random-potential|随机势]]——“势”指电子必须翻越的那片能量地貌，“随机”指它的起伏不遵循任何井然的规则。这正是一种重度无序材料天然的电子地貌，比如一块塞满杂质的金属，或一种非晶合金。
波的本性正是在这里咬下去。当电子波在这片随机地貌中铺展时，它不断地在每一个凸起上分裂、散射，朝四面八方送出小小的涟漪。那些被散射的涟漪沿着无数条绕圈的路径行进，又回到它们出发的地方。而奇妙之处在于：一道波和它时间反演的孪生兄弟——同一个圈倒着走一遍——回家时总是完美地步调一致，峰对着峰。当它们在出发点重新会合时，彼此加强。波被拽回老家的力道，远强于它被允许游荡出去的力道。
把自己困住的那道波
当无序较轻时，这股回家的牵引只是一个小小的修正——电子稍微更可能滞留一会儿，但它终究还是能穿过材料。可一旦把无序调过一个临界的量，这股牵引就彻底获胜。回返的波加强得如此压倒性，逃逸的波抵消得如此彻底，以至于电子波再也无法铺展开来。它的概率堆叠成一个固定的团块，在某一点上最鼓，并在不远处衰减到零。电子被卡住了——不是变慢、不是延迟，而是真真切切地被钉在原地，永远。这种自我囚禁，就是[[anderson-localization|安德森局域化]]。
好好体会这有多奇怪。没有任何东西在抓着电子——没有墙、没有笼子、没有把它按住的力。它被困住，纯粹是因为它自己在随机地貌中干涉的涟漪所构成的几何。无序并不去抓那个电子；它只是把事情安排成：电子的波在除了老家以外的每一处都把自己抵消掉。而一旦每个电子都像这样被局域化，它们就没有一个能把电流送过材料。一种按其化学本应是导电金属的物质，于是变成了一个完美的[[insulator|绝缘体]]——仅仅被无序变成了绝缘体，成分丝毫未变。
- 电子是一道波；在完美晶体里，它自由地铺展、自由地导电。
- 随机势让波沿着无数条绕圈的路径被散射。
- 回到起点的波彼此加强；试图逃逸的波彼此抵消。
- 一旦无序超过临界的量，波就冻结在一个固定的点上——它被局域化了——导电随之停止。
迁移率边：能量中的一道边界
真实材料很少是全有或全无的。在一块部分无序的固体里，有些电子被困住，另一些却仍能游荡——而一个电子落得哪种命运，取决于它的能量。低能量的电子坐在随机地貌的坑底，太虚弱、爬不出来，于是被局域化。高能量的电子骑在那些凸起之上，从崎岖的地形上方扬帆而过，于是仍自由地导电。在这两群电子之间，横着一条明确的分界能量，把被困的和自由的分隔开来。
那条分界线有个名字：[[mobility-edge|迁移率边]]。在它以下的电子是局域的、不载电流；在它以上的电子是扩展的、能导电。这是无序物理中最干净的想法之一：一个单一的能量，把一种材料的电子劈成两个截然不同的世界。一种无序材料表现得像金属还是像绝缘体，往往就归结于它的电子恰好填到了迁移率边的哪一侧。
逃出陷阱，以及一幅更大的图景
如果每个电子都被冻在原地，那么一种局域化的材料究竟是怎么导一点电的——而且它在被加热时确实能导一点点？答案是一种完全不同的机制。一个被困的电子，可以从材料的温热里借来一点能量，猛地做一次量子跳跃，跳到附近一个空着的陷阱里，然后再跳一次，一跳一跳地慢慢挪过固体。这种走走停停的爬行，叫作[[hopping-conduction|跳跃导电]]。它迟缓无力，而且当你把材料朝绝对零度冷却时它会渐渐消失——这与正常金属恰好相反，金属是越冷导电越好。这种反过来的温度特征，正是局域化在起作用的最清晰的指纹之一。
最后一桩奇迹。安德森局域化其实根本不只关乎电子——它关乎波。任何穿过随机介质的波，都能以同样的方式把自己困住：浑浊晶体里的光、杂乱固体里的声、甚至粗糙海面上的涟漪，或者纠结迷宫里的微波。研究者们已经捕捉到光和声恰如理论所预言的那样冻结在原地。所以这不是电子的一个怪癖；它是关于随机性对波做了什么的一条深刻而普适的真理。安德森的洞见，远远超出了他最初出发的那块金属。
到目前为止，我们的无序冻住了原子的位置（玻璃）和波的运动（局域化）。在最后一讲，我们要转向第三种、更加微妙的无序：不是关于东西坐在哪儿，而是关于它们想指向哪边、想如何彼此达成一致。当相互竞争的规则把一个系统朝着它永远无法同时全部满足的方向拉扯时，我们就得到了阻挫、自旋玻璃，以及那些会有序、却从不重复的图案。原来，这团乱还留着最后一手要展示给我们看。