一个持续了几十年的谜题
麻烦就在这里。如果金属里真的装着一团自由电子气，那么给金属加热就该让所有这些电子抖动得更厉害，从而吸收大量热量——正如给空气加热会让它的分子嗡嗡乱窜一样。德鲁德的经典图像预言的正是如此。但实验却说不：金属里的电子几乎不给它的热容添什么分量。仿佛它们中的绝大多数都拒绝察觉金属已经被加热了。几十年来，没人能解释这是为什么。
答案直接来自上一篇里的费米海。深处的电子被困住了——它们周围的每个状态都被占据，所以连一丁点热量也接不下。只有费米面附近那层薄薄的电子，正上方有空着的状态，才能吸收暖意。整片海几乎都被排除在这场游戏之外。
数一数架子：态密度
为了把这件事说精确，我们需要一种数数的办法。再次想象那一摞放着可用运动状态的架子。有些能量区间里架子密密麻麻地挤在一起，另一些区间里却只有寥寥几层。态密度数的正是这个：在每一小薄片能量里，有多少个可用的状态。态密度高，意味着这段能量区间里塞了好多座位；态密度低，则意味着座位稀疏。
最要紧的，是恰好处在费米能上的态密度——也就是水位线那一处可供使用的座位数。这一个数字，决定了当你扰动金属时——无论是用热、用电、还是用磁场——有多少电子能够自由地响应。它是整个固体物理中最有用的量之一。
只有表面那群电子感受得到热
- 把金属稍微加热。每个电子分到的可用热量，相比费米能微乎其微。
- 只有处在费米面附近那一小条能量带之内的电子，才能找到空着的状态跃入。
- 更深处的电子被填满的邻居困住，什么也吸收不了。
- 于是在所有电子中，只有极小一部分真正储存了热量。
这就是电子热容——电子本身所能储存的热量。由于只有表面那薄薄一群参与其中，它算出来远小于德鲁德的经典猜测，与实验严丝合缝。而且它带着一个标志性的指纹：它随温度笔直地、温和而线性地增长，而不像经典气体那样保持平直。哪怕在今天，测量这种温和的线性上升，仍是窥探费米面处态密度的最干净的办法之一。
同一招，这回用在磁性上
完全相同的逻辑，还能解释一个更安静的效应。每个电子都带着一个微小的磁矩——可以把它想成一根极小的指南针。在外加磁场中，一根自由的针会很乐意转过去顺着磁场指，从而降低自己的能量。但大多数电子被锁在费米海里、成对配着、针针相消，它们若不做那个被禁止的、跳进已占据状态的动作，就无法翻转。
又一次，只有表面那群电子能自由响应。费米面附近的少数电子让自己的针重新对准磁场，从而使金属获得一股微弱而稳定的、朝磁场方向的磁性吸引。这个微弱的效应叫做泡利顺磁性。它之所以微弱，正是因为获准参与的电子如此之少——而它的大小，同样由费米面处的态密度决定，还是那个之前的「总管」数字。
一个念头，多重回报
退一步，欣赏一下：仅凭一个洞见，竟能跑出这么远。不可共享的规则冻结了深海，只在表面留下薄薄一层活跃的电子。这一个念头，既解释了电子热容为何又小又随温度线性上升，也解释了金属在泡利意义上为何只有微弱磁性——而且若读法得当，它甚至直接把态密度的测量值递到你手里。把表面那群电子数清楚，金属对热、对电、对磁的响应便都各就各位了。
在最后一篇里，我们要让这群表面电子上场，担纲那出重头戏：导电。正是这同一批电子，既搬运电荷又搬运热量；同时追踪这两件事，会引出整个固体物理中最优雅的结果之一——一条简单到几乎像是巧合的定律，却恰恰从自由电子的图像里水到渠成。