积分是求导的逆运算——而且更难
要找 f 的原函数，问的其实是：哪个函数的导数等于 f？求导有可靠的法则，能把任何表达式碾成它的斜率。反过来走，更像是「有章法的猜测」——你认出一个形状，然后把本会产生它的那条法则倒推回去。正因如此，积分确实是一门手艺，而非一套配方。好消息是：两种逆向技巧就能覆盖你日后遇到的绝大部分积分，而且二者都直接来自你已经掌握的法则。
换元法：把链式法则倒过来
链式法则说 d/dx f(g(x)) = f'(g(x)) g'(x)：当你对一个嵌套函数求导时，会多掉出一个因子 g'(x)。换元法就是这门手艺——在积分里认出那个多出来的因子，再把里层函数收回去。做法是把里层改名为 u，即 u = g(x)，du = g'(x) dx。如果积分确实是 f'(g(x)) g'(x) dx，这些零件就会严丝合缝地对齐，原本在 x 里乱糟糟的积分，就变成一个在 u 里干干净净的积分。
- 目标：求 2x cos(x^2) dx 的积分。棘手的是里层 x^2，而注意它的导数 2x 正好作为一个因子摆在那里。令 u = x^2。
- 于是 du = 2x dx——正好就是被积式剩下的部分。代换得：2x cos(x^2) dx 的积分 = cos(u) du 的积分。
- 在 u 里积分：cos(u) du 的积分 = sin(u) + C。再把 u 换回 x^2：答案是 sin(x^2) + C。
- 求导验证：d/dx sin(x^2) = cos(x^2) 乘 2x——正是原来的被积式。链式法则确认无误。
分部积分法：把乘积法则倒过来
当被积式是两个互不相关函数的乘积时——比如 x 乘 e^x，或 x 乘 ln(x)——换元法通常会失败，因为没有哪个里层函数的导数藏在剩余部分里。补救之道来自把乘积法则倒过来。由于 (uv)' = u'v + uv'，对两边积分并整理，就得到分部积分法公式：u dv 的积分 = uv - v du 的积分。你用一个算不动的积分换来一个（但愿更简单的）积分，代价是那个简单的乘积项 uv。
整盘棋的关键在于：选哪个因子当 u（你会对它求导），哪个当 dv（你会对它积分）。一个好用的口诀是 LIATE：让 u 优先选「对数、反三角、代数、三角、指数」中排在最前面的那个因子。道理是：你希望 u 求导后变得更简单，而 dv 是你真的能积出来的东西。在 ln(x) 与 x 之间选 u = ln(x)；在 x 与 e^x 之间选 u = x。
integral of x e^x dx (Algebraic times Exponential -> u = x) u = x, dv = e^x dx du = dx, v = e^x = uv - integral of v du = x e^x - integral of e^x dx = x e^x - e^x + C
integral of x ln(x) dx (Logarithmic wins -> u = ln x) u = ln x, dv = x dx du = dx/x, v = x^2 / 2 = (x^2/2) ln x - integral of (x^2/2)(1/x) dx = (x^2/2) ln x - integral of (x/2) dx = (x^2/2) ln x - x^2/4 + C
一个诚实的界限：不是什么都能写出初等积分
这里有件教科书有时会藏起来的事。每个连续函数确实都有原函数——这由微积分基本定理保证。但对许多再普通不过的函数，那个原函数没法用初等函数写出来（多项式、根式、指数、对数、三角函数及其组合）。经典的例子有 e^{-x^2}（钟形曲线）、sin(x)/x，以及 1/ln(x)。再聪明的换元或分部积分也永远收不了它们，因为根本不存在初等公式——这是已被证明的事实，不是你功力的缺口。