反常积分：积到无穷远

当普通规则不够用时

你到目前为止算过的每一个定积分，都生活在一个整整齐齐的有限区间 [a, b] 上，而且函数在整段路程中都保持有限。于是微积分基本定理把答案以 F(b) - F(a) 的形式交给你。但有两件事能打破这份整齐。区间可以伸到无穷远——integral from 1 to infinity of something。或者函数可以在区间内部某处冲向无穷——比如 1/sqrt(x) 恰好在 x = 0 处。无论哪种情形，F(b) - F(a) 这个符号都不再真的说得通，因为根本没有一个诚实的端点可以代进去。

带有上述任一特征的积分，叫做[[improper-integral|反常积分]]（也叫广义积分）。「反常」不是贬义——它只是提醒你：之前学的那个定义在这里不能直接套用。于是我们使出微积分里屡试不爽的那一招：用一个[[limit-at-infinity|极限]]悄悄逼近这个问题。

定义：先积到一堵墙，再把墙推开

把这个技巧说精确。要从 1 一直积到无穷远，你并不能神奇地抵达无穷。你的做法是：先积到一堵可移动的墙 x = b——这是一个普通的、性质良好的定积分，你早就会算了。然后你问：当你把墙 b 一路滑向无穷远时，那个数会怎样。如果那个数安定到一个单独的有限值 L，我们就说这个反常积分收敛到 L。如果它无止境地增长或者永远安定不下来，我们就说它发散。

integral from a to infinity of f(x) dx  =  lim b->infinity  ( integral from a to b of f(x) dx )

  converges  ->  the limit is a finite number L
  diverges   ->  the limit is infinite, or does not exist

函数无界的那种情形做法完全一样，只是从另一侧靠近。如果 f 在 x = a 处爆掉，你就把墙起在离麻烦点稍微远一点的地方——从 a + t 积到 b——然后让 t -> 0，慢慢爬向那个坏点。哲学相同：永远不要直接碰那个危险位置；通过极限去逼近它，看面积是否保持有限。

震撼时刻：1/x^2 收敛，1/x 发散

现在到了真正令人惊讶的部分。想象 x = 1 右边的两条曲线 y = 1/x 和 y = 1/x^2。两者都永远向零下降；两者都圈住一条无限长的细面积。你的直觉大概会说：一个无限长的区域一定装着无限的面积。你的直觉对了一半。这两个积分的表现截然不同——而唯一能弄清楚的办法，就是取极限。

1. 收敛的情形：integral from 1 to b of 1/x^2 dx = [-1/x] from 1 to b = -1/b + 1 = 1 - 1/b。当 b -> infinity 时，1/b 这一项消失，所以极限是 1。1/x^2 下方一直到无穷远的总面积恰好是 1——有限的！它收敛。
2. 发散的情形：integral from 1 to b of 1/x dx = [ln x] from 1 to b = ln(b) - ln(1) = ln(b)。当 b -> infinity 时，ln(b) 永远在往上爬——爬得慢，但没有任何天花板。极限是无穷，所以 1/x 下方的面积无界。它发散。

于是两条看起来几乎一模一样的曲线——都在向零消失——却走向了相反的命运。决定胜负的因素是函数收缩得有*多快*。1/x^2 衰减得足够快，它的尾部面积加起来是一个有限的总和；1/x 向零爬得就慢了那么一丝丝，它无尽的尾巴便无限制地累积。收敛与发散的全部戏剧性，都活在那道刀刃般的分界上。

通往「把无穷多个东西加起来」的桥

再看一眼刚刚发生了什么。你把*无穷*多的东西加了起来——面积一直伸展到永远——并问：这个累计的总和会不会逼近一个有限的数。这恰恰就是下一条学习线在等着你的问题。把曲线下方那片光滑的面积换成一串一个接一个相加的离散数字，你就得到了一个[[infinite-series|无穷级数]]：像 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + ... 这样永不终止的和。

其中的逻辑可以原封不动地搬过去。一个级数当它的部分和（先是 1，然后 1 + 1/4，再是 1 + 1/4 + 1/9，……）逼近一个有限极限时收敛，否则发散——用的是完全相同的「收敛/发散」措辞，完全相同的极限思想。甚至有一条定理（积分判别法）用 1/x^2 的反常积分来证明和 1 + 1/4 + 1/9 + ... 收敛，又用 integral 1/x 的发散来证明那个著名的调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + ... 发散。这两个故事其实是同一个故事。

import math

# integrate 1/x^2 up to a moving wall b, watch it settle toward 1
for b in [10, 100, 10000, 10**8]:
    print(b, 1 - 1/b)        # -> 0.9, 0.99, 0.9999, ~1.0   (converges to 1)

# integrate 1/x up to the same walls, watch it climb forever
for b in [10, 100, 10000, 10**8]:
    print(b, math.log(b))    # -> 2.3, 4.6, 9.2, 18.4 ...   (no ceiling -> diverges)