微积分基本定理

两个本不该相遇的世界

到目前为止，你已经见过两台非常不同的机器。导数接收一个函数，告诉你它的瞬时斜率——它此刻变化得有多快。定积分接收一个函数，把它下方的面积加起来，这面积是越来越细的矩形所构成的黎曼和的极限。一个讲的是陡峭，另一个讲的是累积。没有任何明显的理由说这两者之间该有什么关系。

然而微积分基本定理却宣告：它们是同一枚硬币的两面——微分与积分互为逆运算，就像加法抵消减法、平方抵消开方一样。正是这条结论把整门学科系在了一起，而它确实令人惊叹——牛顿和莱布尼茨在它之上建起了现代科学。

第一部分：累积函数和它的斜率

从一个函数 f 出发，定义一个全新的函数 A，让它一边走一边累积面积：A(x) = integral from a to x of f(t) dt。把它读作「从固定的左端 a 到会移动的右端 x，f 下方已经堆积了多少面积」。当你把 x 往右推时，A 在增长。问题是：A 增长得有多快？

直觉是这样的。把 x 再往右轻轻挪一点点，挪一个宽度 h。你扫进来的那块多出来的面积，是一条几乎正好是矩形的细条：高为 f(x)、宽为 h，所以大约是 f(x)*h。这意味着 A 的变化量除以 x 的变化量大约是 f(x)*h / h = f(x)。取 h -> 0 的极限，这个近似就变成了精确等式。于是 A 的变化率——也就是它的导数——恰好就是 f 本身。

                d   ( integral from a to x of f(t) dt )  =  f(x)
               dx

  differentiating an area-so-far function gives back the original function

第二部分：终结苦工的捷径

第一部分是那条深刻的真理；第二部分是每天都用的工具。它说：要算一个从 a 到 b 的定积分，你不必去硬啃黎曼和的极限。换个做法：找到 f 的任意一个原函数 F（任何满足 F'(x) = f(x) 的函数），然后只要把它在两端的取值相减就行：integral from a to b of f(x) dx = F(b) - F(a)。

停下来想想这有多奇怪。左边是一个无穷的、精细的求和过程；右边是两个数相减。定理保证它们相等——每一次都相等。为什么可以用「任意一个」原函数？因为同一个 f 的两个原函数之间只相差一个常数，而这个常数在相减 F(b) - F(a) 时被抵消掉了。所以你尽可以挑最简单的那一个。

integral from a to b of f(x) dx  =  F(b) - F(a),   where F'(x) = f(x)

shorthand:   integral from a to b of f(x) dx  =  [ F(x) ]  from a to b

一个你能信得过的算例

我们来求 f(x) = x^2 从 x = 0 到 x = 3 之间下方的面积——这正是那种用加矩形的办法做起来会很折磨人、但用第二部分一行就搞定的题目。

1. 找 f(x) = x^2 的一个原函数。因为 x^3 的导数是 3x^2，所以函数 F(x) = x^3 / 3 满足 F'(x) = x^2。很好——这就是我们要的 F。
2. 在上端求 F 的值：F(3) = 3^3 / 3 = 27 / 3 = 9。
3. 在下端求 F 的值：F(0) = 0^3 / 3 = 0。
4. 相减：integral from 0 to 3 of x^2 dx = F(3) - F(0) = 9 - 0 = 9。完成——根本不需要无穷求和。

# sanity check: a crude Riemann sum should creep toward 9
def riemann(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    return sum(f(a + (i + 0.5) * dx) * dx for i in range(n))

f = lambda x: x**2
print(riemann(f, 0, 3, 1000))   # ~ 8.99999..., closing in on the exact 9