定积分：把无穷多片加起来

古老的难题：曲线下方的面积

矩形的面积你闭着眼都能算：宽乘以高。三角形、圆、梯形——几何为每一种都递给你一个公式。可现在画一条起伏的曲线，比如 y = x^2，问你被这条曲线、x 轴，以及 x = a 和 x = b 两条竖线围住的面积是多少。书后面没有现成的公式。上边缘是弯的，所以没有哪个单一的「宽乘高」管用。这就是面积问题，在微积分驯服它之前，人们和它缠斗了两千年。

那个突破性的想法很谦卑：如果你没法一口气量出弯弯曲曲的区域，那就用你*能*量的形状去把它铺满。把从 a 到 b 的区间切成一排细长的竖长条。每条都有一个弯的顶，可只要它够窄，那个顶就几乎是平的——于是就把这条当成一个普通矩形。把所有矩形面积加起来，你就得到了整体的一个估计。它会差一点点，但只差一点点，而这点误差，是我们能够挤压掉的。

黎曼和：切、量、加

我们把这个计划说精确。取从 a 到 b 的区间，把它分成 n 个相等的小段。每一段的宽度是 dx = (b - a) / n。在第 i 条长条里，挑一个取样点 x_i，量出曲线在那里的高度 f(x_i)，把这条当成一个高为 f(x_i)、宽为 dx 的矩形。它的面积是 f(x_i) * dx。把这 n 个全加起来，你就有了一个[[riemann-sum|黎曼和]]：

Riemann sum  =  f(x_1)*dx + f(x_2)*dx + ... + f(x_n)*dx

             =  sum from i = 1 to n  of  f(x_i) * dx

   where      dx = (b - a) / n

在每条长条里，你该读哪里的高度？你有得选，而这个选择给这个和起了名字。读每条左边缘的高度，你得到左黎曼和；读右边缘，是右黎曼和；读正中间，是中点和，通常它贴真值贴得最紧。对一条光滑曲线，当 n 很小时这些彼此略有出入——可随着长条变细，它们的分歧朝着「无」收缩。

1. 决定你要多少条长条 n，并算出宽度 dx = (b - a) / n。
2. 在每条长条里，选一个取样点（左、右或中间），量出那里的高度 f(x_i)。
3. 把每个矩形的面积取作 f(x_i) * dx，再把这 n 个全部累加成一个总和。
4. 现在增大 n——翻一倍，再翻一倍——看这个总和是否朝着一个固定的数字安顿下来。

把和变成一个数字的那个极限

这就是它的核心。黎曼和只是个估计，任何有限的 n 都会让它略有偏差。可把 n 往上推——长条更多、每条更细、dx 朝着 0 收缩——一条规规矩矩的曲线就会让这个和逼向某一个固定的值。f 从 a 到 b 的[[definite-integral|定积分]]，*被定义*为当 n -> 无穷（等价地，当 dx -> 0）时，这些和的[[limit|极限]]。它不是那个和本身；它是这些和所趋向的那个数字。我们这样把它写下来：

integral from a to b of f(x) dx  =  lim (n -> infinity)  sum from i = 1 to n  f(x_i) * dx

The elongated S (the integral sign) is a stretched 'sum'.
The dx is the leftover width of each slice, shrunk to nothing.

而结果是一个单一的数字，不是一个函数。f 从 a 到 b 的定积分，把整段区间一口吞下，报出一个值——从速度曲线得到的总距离，从电流得到的总电荷，从赚钱速率得到的总利润。这就是「定」的意思：上下界 a 和 b 被钉死了，所以答案是确定的、是数值。（把界去掉，你得到的是别的东西——一个[[antiderivative|原函数]]，一整族函数——接下来的台阶会把它连回到这里。）

用几行代码看着它收敛

空谈是廉价的；我们就把这个极限跑一遍。我们用左黎曼和去近似 f(x) = x^2 从 0 到 1 的积分，然后把 n 摇大，看这个总和逼近过来。精确答案——下一级台阶会让你能用手算出来——是 1/3。

def f(x):
    return x * x

a, b = 0.0, 1.0
for n in [4, 10, 100, 1000, 100000]:
    dx = (b - a) / n
    total = 0.0
    for i in range(n):
        x_i = a + i * dx        # left edge of strip i
        total += f(x_i) * dx
    print(n, total)

# n         Riemann sum
# 4         0.21875
# 10        0.285
# 100       0.32835
# 1000      0.3328335
# 100000    0.33333283...   ->  heading for 1/3

盯着那一列数字一点点爬向 0.3333…，就是整个概念的缩影。我们从来没有真的加完无穷多片——没有哪台计算机能办到——但我们也不需要。我们只需要看出*这些总和在奔向哪里*，而一个光滑的函数对此毫不含糊。那个归宿，就是定积分。