贯穿一切的那个想法：累积
你已经认识了定积分，把它当作黎曼和的极限：把一个量切成许多薄片，把这些薄片加起来，再让薄片的宽度趋向零。「曲线下方的面积」只是第一个例子，因为每个矩形贡献的 f(x)*dx 恰好长得像一块面积。但并没有谁规定 dx 一定要量图上的宽度。真正的动作永远是同一套——切片、相乘、再求和——而积分就是这个和在极限下变成的东西。
所以本指南里每一个应用的套路都是：想清楚一个薄片贡献了什么，把这份贡献写成（某个东西）乘以 dx，然后积分。如果一个薄片贡献的是一段长度，你得到面积；如果它贡献的是一块面积，你得到体积；如果它贡献的是一小段路程，你得到总路程。积分号不过是把无穷多个无穷小碎片清点起来的机器。
曲线之间的面积，以及旋转出的体积
先看两条曲线之间的面积。设在从 a 到 b 的区间上，上方曲线 f(x) 位于下方曲线 g(x) 之上。位置 x 处的一条竖直细条，高为 f(x) - g(x)（上减下），宽为 dx，所以它贡献 (f(x) - g(x)) * dx。把这些细条加起来再让它们变细，你就把面积写成了一个积分。先把 g 减掉，正是即使两条曲线都落到 x 轴下方时这套办法依然成立的原因。
area between curves = integral from a to b of ( f(x) - g(x) ) dx
\__top minus bottom__/
slice contribution: height * width = ( f(x) - g(x) ) * dx现在把一块区域绕 x 轴旋转，就扫出一个三维的旋转体——想象车床上车出的一只花瓶。把它沿垂直于轴的方向切成一片片薄圆片（圆盘）。位置 x 处的一片是半径为 f(x) 的圆，所以它的面是 pi * f(x)^2，而它微小的厚度是 dx；一片圆盘贡献 pi * f(x)^2 * dx。用积分把这些圆盘叠起来，你就得到体积。贡献从一段长度变成了一块面积，但切片、相乘、求和的动作一模一样。
函数的平均值
一个东西取无穷多个值——比如一整天的气温——你怎么求它的平均？对一串有限的数，你把它们加起来再除以个数。对区间 [a, b] 上的一个函数，你做连续版本的：用积分把所有的值加起来，再除以区间长度 b - a。这就给出 f 的平均值。
average value of f on [a, b] = ( 1 / (b - a) ) * integral from a to b of f(x) dx compare to a finite average: ( sum of values ) / ( how many values )
这里有一幅令人满意的图。把两边都乘以 (b - a)，公式就说：平均值 * (b - a) = integral from a to b of f。换句话说，一个宽为 b - a、高等于平均值的扁平矩形，恰好和 f 下方那块起伏区域有完全相同的面积。平均值就是那个能给你同样总量的恒定高度——它把凹凸抹平了。
统一的主题：对变化率积分，得回总量
下面这个想法把整门学科系在一起。导数把一个总量变成一个变化率：位置变成速度。积分把这一步倒过来——它把变化率变回总量。如果你知道某样东西在每一瞬间累积得有多快，把这个变化率在一段时间上积分，就得到累积起来的总量。这不过是把基本定理当作一句关于现实世界的话来读。
- 速度是位置的变化率，所以在极短的一段时间 dt 里你大约移动 v(t) * dt。把所有这些微小移动加起来：总位移 = integral from t1 to t2 of v(t) dt。
- 举例：一辆车以稳定的 v = 60 公里/时从 t = 0 开到 t = 2 小时。60 dt 从 0 到 2 的积分是 60*2 - 60*0 = 120 公里——正是你预期的路程。积分只是印证了这个日常的答案。
- 现在让速度变化，比如 v(t) = 6t。它的一个反导数是 3t^2，所以从 0 到 2 的路程是 3*2^2 - 3*0^2 = 12 公里。对于变化的速度，没有干净的算术捷径——是积分把它搞定的。