从数到箭头：向量场
到目前为止，函数在每一点上交给你的是一个数——一个高度、一个温度、一个成本。向量场交给你的，则是一支箭头。它在平面（或空间）的每一点上挂一支小向量：一个方向，外加一个大小。最经典的图景，就是一张布满风羽的天气图——每一处，空气往哪个方向走、走得有多猛。洋流、热量穿过一面墙的流动、行星附近感受到的引力牵引：这些全都是向量场。
其实你早就见过向量场，只是没意识到。随便取一片地貌 z = f(x, y)，在每一点上算出它的梯度：你就得到每一处一支箭头，全都指向上坡。这就是一个梯度场，它是一种特殊而温顺的向量场。很快我们就要反过来问——给你一整片密林般的箭头，我们能不能判断它是不是来自某片隐藏的地貌？答案，竟然藏在两个新的度量里。
散度与旋度：向外铺开与就地打旋
站在流动中的某一点，问两个截然不同的问题。第一个：离开这个点的液体，比抵达它的更多吗？在这点周围画一个极小的盒子；单位体积里净流出的量，就是散度。散度为正，意味着这是一个源——液体正在那里被造出来，像泉眼里咕咕冒出的水。为负，意味着是一个汇——液体正被吸走，像排水孔。处处为零，则意味着液体不可压缩：流进多少，就流回多少。
第二个问题：这里的流动会打旋吗？在那一点把一只极小的桨轮丢进水里，看着它。如果水流推一边比推另一边更用力，轮子就会转——而旋度量的正是这种就地的转动：转得有多快、绕着哪根轴。浴缸里的漩涡有很强的旋度；笔直滑过的水流则毫无旋度。要紧的是，散度和旋度都是局部的——它们描述的是一个点的无穷小邻域里发生的事，并且（和微积分里的一切一样）是由偏导数搭起来的。
Field in 2D: F(x, y) = ( P(x, y) , Q(x, y) )
divergence = partial P / partial x + partial Q / partial y
(net outflow: a single number, a source/sink reading)
curl (2D) = partial Q / partial x - partial P / partial y
(local spin: positive = counterclockwise twist)
Example F = ( x , y ) (arrows pointing straight outward):
divergence = 1 + 1 = 2 -> a source everywhere, fluid spreading out
curl = 0 - 0 = 0 -> no spinning at all线积分与那几条宏大的推广
现在，沿一条路径穿过这片场走一趟，把每一步它在帮你还是在拖你累加起来。这个累计的总量，就是线积分——和定积分一样，它是一个和的极限，只不过是沿一条穿过箭头的曲线去取，而不是沿一根平直的坐标轴。如果这片场是一种力，线积分就是你走完这条路所做的功。如果它是一股水流，它量的就是环量——这股流沿着你的回路把你推了多少。
现在，是整段攀登的顶峰了。微积分基本定理说过：要把一个导数在一段区间上加起来，你只需要它在两个端点上的值——内部相互抵消，边界把账记下。向量微积分在更高的维度里，发现了同一桩惊人的便宜。每一条宏大的定理都在说：某个导数在一片区域上的积分，等于一个只在该区域边界上取的、更简单的积分。
- 格林定理：一片平坦区域内部打旋的总旋度，等于沿它边界回路绕一圈的环量（线积分）。内部所有的旋转在彼此相接处相互抵消，只剩下边缘。
- 斯托克斯定理：同一个思想被抬进三维——穿过一张曲面的旋度，等于沿这张曲面边缘绕一圈的环量。格林定理只是它在平面上的特例。
- 散度定理：一块立体区域内部的总散度（所有源与汇），等于净通量——穿过它那张包裹曲面向外流出的流量。又一次，内部的账等于边界的账。
回报所在，以及下一步去哪里
费这么大劲搭这套机器，图什么？因为 1865 年，麦克斯韦把整套电与磁的理论——每一台马达、每一道无线电波、每一束光——正是用这些工具写了下来。他那四条方程，谈的只有散度和旋度：电荷就是那些源，它们的散度让电场向四面铺开；磁则没有源（它的散度永远为零，所以不存在孤零零的磁极）；而一个变化的磁场带着旋度，搅起一个环绕的电场，反之亦然。
就从这四行出发，麦克斯韦做成了一件没有任何实验做到过的事：他预言电场与磁场能彼此喂养、以一种自我维持的波传播开去——并算出了它的速度恰好是光速。他由此领悟到，光就是电磁现象。这就是朴素的微积分，被推向向量场之后，能给你的那种触及之远。你从一条曲线上的一个斜率出发，一路爬到了点亮世界的那组方程。