从切线到「切多项式」
在上一阶你见过线性逼近：在一点附近，一条光滑曲线能被它的切线 L(x) = f(a) + f'(a)(x - a) 很好地贴合。这条线在 x = a 处与 f 有两点一致——相同的高度和相同的斜率。但直线不会弯，所以一离开就会偏掉。补救办法很自然：再加一项，让它也匹配曲线的弯曲，然后再加一项管弯曲怎么变，依此类推。每加一项，就多强制一阶导数一致。结果是一个越来越紧贴曲线的多项式。
写出来，f 在点 a 附近的泰勒级数是 f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)/2! (x - a)^2 + f'''(a)/3! (x - a)^3 + ... 。第 n 项用的是 f 在 a 处的 n 阶导数，除以 n!（n 的阶乘：2! = 2，3! = 6，4! = 24）。注意前两项恰好就是切线——线性逼近不过是一条提前打住的泰勒级数。
一阶一阶地搭出 e^x
最干净的例子是 e^x，因为它是自己的导数：e^x 的每一阶导数还是 e^x，而在 x = 0 处每一阶都等于 1。把这些 1 代进公式，分母里就只剩下阶乘了。这同时也是一条幂级数——一个关于 x 各次幂的无穷多项式——而它恰好对每一个实数 x 都收敛到 e^x。
e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + ... Try x = 1 (this should approach e ~ 2.71828): 1 = 1 + 1 = 2 + 1/2 = 2.5 + 1/6 = 2.6667 + 1/24 = 2.7083 + 1/120 = 2.7167 + 1/720 = 2.71806 ... partial sums climb toward 2.71828
注意这里的引擎和前几阶是同一个：一条无穷级数收敛，当且仅当它的部分和趋于一个有限的极限。这个多项式从不真正结束；我们说「相等」，意思是这些累计总和能要多接近 e^x 就多接近、并稳定地保持下去。阶乘增长得极其凶猛，所以后面的项迅速缩到几乎为零，总和很快就稳定下来。
正弦、余弦，以及计算器为何钟爱它
sin 和 cos 是下一对经典例子。它们的导数按 sin -> cos -> -sin -> -cos -> sin 循环，所以在 x = 0 处取值依次是 0, 1, 0, -1，不断重复。这些 0 构成的规律恰好删掉了一半的项：sin 只留奇数次幂，cos 只留偶数次幂，符号正负交替。
sin(x) = x - x^3/3! + x^5/5! - x^7/7! + ... (odd powers) cos(x) = 1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + ... (even powers) # Estimate sin(0.5) with just three terms: x = 0.5 x - x^3/6 + x^5/120 = 0.5 - 0.0208333 + 0.0002604 = 0.4794271 (true sin(0.5) = 0.4794255... -> off by ~0.0000016)
这就是你的计算器、以及物理近似背后的秘密。芯片无法直接求 sin 或 e^x——它只会加、减、乘、除。一条截断的泰勒级数恰恰由这些运算搭成，于是机器加上几项，一旦下一项比所需精度还小就停下。物理学家反过来用同一招：对小角度，他们直接把 sin(x) 换成 x，或把 cos(x) 换成 1 - x^2/2，把一道难方程变成一道容易的。
它能信到多远？收敛半径
这里有个诚实的提醒。对 e^x、sin、cos，级数处处收敛，但大多数级数只在中心附近一个有限的窗口内才管用。存在一个数 R，叫收敛半径，使得这条幂级数在 |x - a| < R 时收敛，在 |x - a| > R 时发散。在窗口之内，这个无穷多项式确实等于该函数；在窗口之外，部分和会炸开，公式毫无意义。
一个小例子能说明为什么窗口会存在。函数 1/(1 - x) 的几何级数是 1 + x + x^2 + x^3 + ... 。取 x = 0.5，每一项都减半，最终稳定在 2——而 1/(1 - 0.5) 确实等于 2。但取 x = 2：各项 1, 2, 4, 8, ... 爆炸式增长，于是级数发散，尽管 1/(1 - 2) = -1 是个完全正常的数。这里 R = 1：只有当 |x| < 1 时，公式才等于该函数。