先是一串清单，然后才是一个和
有两个词听起来几乎一样，含义却大不相同，能把它们分清，这场仗就赢了一半。数列不过是一串有顺序、永不终止的清单：第一项、第二项、第三项，就这样一直排下去。比如 1, 1/2, 1/3, 1/4, ... 就是一个数列——还没有人去加任何东西，我们只是把这些值一个接一个地列出来。
无穷级数是当你决定把一个数列的所有项加到一起时得到的东西：1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...。数列是一串清单；级数则是这串清单的累加总和。那个深刻的问题——也正是整篇指南要讲的——就是：这样一种没完没了的加法，究竟能不能停在一个真实、有限的数上。
「收敛」到底是什么意思：部分和
你没法真的做无穷多次加法。于是数学家想了一个更聪明的办法：只加第一项，再加前两项，再加前三项，然后盯着这些部分和正在往哪儿走。第 n 个部分和 S_n = a_1 + a_2 + ... + a_n 是一次诚实的、有限的加法，是你真能动手算出来的。这样你就有了一个全新的数列——S_1, S_2, S_3, ...——于是你就能问那个你已经会问的、关于数列的问题。
下面是精确的定义，它完全建立在你早先见过的极限概念之上。当 n 无限增大时，如果一个级数的部分和数列趋近于某个唯一的有限数 L，这个级数就收敛；这个数 L 于是被定义为该级数的和。如果部分和始终安定不下来——要么一路冲向无穷，要么永远来回振荡——那么这个级数就发散，根本没有和。这正是收敛与发散的核心。
series: a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + ...
partial sums: S_1 = a_1
S_2 = a_1 + a_2
S_3 = a_1 + a_2 + a_3
...
converges <=> lim (n -> infinity) S_n = L (a finite number)两个著名级数：一个规矩，一个棘手
最友好的级数是几何级数：每一项都是前一项乘上一个固定的公比 r，即 a + a*r + a*r^2 + a*r^3 + ...。可以想象成不断取剩下部分的一半。令人惊讶的是，当公比足够小——也就是 |r| < 1 时——这个无穷总和恰好等于 a / (1 - r)，一个干净利落的有限公式。对于 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...，有 a = 1/2、r = 1/2，所以和就是 (1/2) / (1 - 1/2) = 1。整堆没完没了的项，加起来不过是个朴素的 1。
geometric series: a + a*r + a*r^2 + a*r^3 + ... if |r| < 1: sum = a / (1 - r) (converges) if |r| >= 1: no finite sum (diverges) example: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... = (1/2)/(1 - 1/2) = 1
再看棘手的那个。调和级数 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... 的各项都缩向零，那它的和总该是有限的吧？并不——它发散到无穷大。问题在于各项缩小得不够快；部分和会一直无界地往上爬，只是爬得非常慢。这就是那个著名的陷阱：各项趋于零是收敛的必要条件，却远远谈不上充分。
终于追上的芝诺赛跑者
二十五个世纪以前，芝诺论证说运动是不可能的。要跑到终点，赛跑者必须先跑完一半路程，再跑完剩下的一半，再跑完那一半的一半，如此永远继续——无穷多步。无穷多步难道不该花掉无穷多的时间吗？这个谜题难倒了一代又一代哲学家，正是因为他们缺了你如今已经掌握的那个观念：一个收敛级数。
- 把这些路程写成一个几何级数：1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...——每一步都跑完剩下部分的一半。
- 看它的部分和：1/2，然后 3/4，然后 7/8，然后 15/16, ...。它们一步步逼近 1，却从不越过 1。
- 取极限：因为 |r| = 1/2 < 1，和就是 a / (1 - r) = (1/2) / (1 - 1/2) = 1。无穷多步加起来，恰好等于整整一段完整的路程。
- 同样的逻辑也适用于花费的时间：无穷多段越来越短的时间，加起来同样是一个有限的时间。于是赛跑者会准时冲过终点线。