二重与三重积分

从线上的薄片到区域上的小块

回想一下单一的[[definite-integral|定积分]]是怎么搭起来的：你取一段从 a 到 b 的区间，把它切成宽为 dx 的细长条，在每条上量出一个高度 f(x_i)，再把 f(x_i) * dx 加起来。答案是当这些长条变得无限细时，那个[[riemann-sum|黎曼和]]的[[limit|极限]]。这篇导读里每一个老实的动作，都只是把同一个动作，往上抬了一个维度而已。

现在想象一张曲面飘在地板上方——比如 z = f(x, y)，一座你四处走动时高度就跟着变的小山。你想要那张曲面与它下方地板上一块平面区域 R 之间夹住的体积。单单一条长条不够用了，因为 R 既有长又有宽。于是用一张小矩形组成的网格去铺满 R，每个小矩形的面积是 dA = dx * dy。在一块小方块上，把这座山当成在高度 f(x_i, y_j) 上是平的；那一根小柱子的体积就是 f(x_i, y_j) * dA。把每一根柱子加起来，你就得到了整个体积的一个估计。

single integral:   sum over i      of  f(x_i) * dx          ->  area under a curve

double integral:   sum over i, j   of  f(x_i, y_j) * dA     ->  volume under a surface
                                       where dA = dx * dy

triple integral:   sum over i,j,k  of  f(x_i, y_j, z_k) * dV ->  total stuff in a solid
                                       where dV = dx * dy * dz

同样的配方，更多的维度：把区域切成微小的方块（dA）或微小的盒子（dV），用函数在那里的值给每一块加权，相加，再取小块缩成无的极限。

累次积分：一次只剥一个方向

一下子在整张网格上求和，听起来毫无希望。解救之道却美妙地简单：一次只做一个方向。把 y 摁住不动，沿着 x 滑过去——这就是一个普通的单变量积分，它给你的是这块体积里某一薄片的面积。然后让 y 变动，把所有这些薄片加起来。两个单变量积分，套在一起，就替掉了那个吓人的二重和。这种套法叫累次积分。

凑近看那个内层积分。当你对 x 积分时，变量 y 是冻住的——被当作一个常数。这应该让你想起点什么：这正是[[partial-derivative|偏导数]]的那套心法，在那里你同样把除一个之外的每个变量都冻住。多维里的求导和积分，都是一次只动一个位置，其余的按住不动。

摆好外层和内层的上下界：内层积分跑一个变量（比如 x），外层跑另一个（y）。
先做内层积分，把另一个变量当成冻住的常数——就像反过来做偏导数。
结果是一个含剩下那个变量的式子。现在对它做外层积分，用实实在在的数字上下界。
蹦出来一个单一的数字——你要的那个体积、质量或总量。

一个从头到尾的例子

我们来求曲面 z = x + y 在单位正方形上方的体积，其中 x 从 0 跑到 1，y 也从 0 跑到 1。我们里层对 x 积分，外层对 y 积分。看好了：在第一步里，y 只是作为一个常数搭着便车而已。

Volume = integral (y from 0 to 1) [ integral (x from 0 to 1) of (x + y) dx ] dy

Inner integral, y held constant:
   integral (x from 0 to 1) of (x + y) dx
      = [ x^2/2 + y*x ]  from x = 0 to x = 1
      = (1/2 + y) - 0
      = 1/2 + y

Outer integral, now over y:
   integral (y from 0 to 1) of (1/2 + y) dy
      = [ y/2 + y^2/2 ]  from y = 0 to y = 1
      = (1/2 + 1/2) - 0
      = 1

Volume = 1

由里到外：在 y 冻住时对 x 积分，得到 1/2 + y；再把它对 y 积分。这一对套起来的单变量积分交出了体积，恰好是 1。

一个不错的合理性检验：曲面 z = x + y 在单位正方形上的平均高度是 1（它从角点 (0,0) 处的 0 一路升到 (1,1) 处的 2），而正方形的面积是 1，所以体积理应大约是 1 * 1 = 1。它正是。对这张曲面来说，因为它是一个倾斜的平面，你甚至本可以一眼把它看成一个楔形的体积——积分只是印证了几何在悄悄告诉你的，并且当曲面不再平直时它照样管用。

再上到三重积分，以及它们加总的是什么

把同一个想法再往上推一级。一个三重积分跑遍三维空间里一整块实心体。把这块实心体切成体积为 dV = dx * dy * dz 的微小盒子，用函数在那里的值给每个盒子加权，相加，再取极限。作为累次积分，它就是三个单变量积分一层套一层——先剥 x，再剥 y，再剥 z，每一步都把还没轮到的变量当成常数。

一个三重积分交给你的是什么？这全看那个函数代表什么意思。如果 f 是密度（单位体积的质量），那么三重积分就是物体的总质量。如果 f 是电荷密度，你得到的是总电荷。如果 f 干脆就是常数 1，你得到的是这块实心体朴素的体积。一台机器，多种含义——而这正是多重积分会从物理、到概率、到图形学，处处冒头的原因。