代数没能回答的问题
如果你已经好多年没碰过数学，先深呼吸一下：其实你每天都在用微积分的核心思想。当你说一辆车「时速 60 英里」，你谈的就是某样东西变化得有多快；当你说浴缸「装了一半」，你谈的就是已经累积了多少。微积分，不过是把这两个日常问题，认真地问一遍。
代数最擅长处理静止的和笔直的东西。给它一条直线，它立刻告诉你斜率：高度差除以水平差，沿着这条线处处相同。给它一个矩形，它告诉你面积：宽乘高。可现实世界很少是笔直的。抛出的球会弯曲，人口先猛增再趋平，股价上下游走。一旦事物弯曲起来，单纯的代数就卡住了。
两个古老的问题
几个世纪以来，有两个问题让数学家用尽招数也搞不定。第一个是切线问题：在某一个确切的瞬间，某样东西变化得有多快？在一条曲线上，单独一点处的斜率是多少——那条恰好「亲吻」曲线的直线有多陡？这就是瞬时变化率的问题：不是整段旅程的平均速度，而是在速度表恰好指向 60 的那一瞬间，你究竟跑得多快。
第二个是面积问题：一个带弯曲边界的图形——被困在曲线下方的那块区域——面积是多少？这其实是关于累积的问题：如果你的速度一直在变，总共走了多远的路？如果水流速率一直在变，总共积了多少水？直边的矩形和三角形我们会量；可弯弯曲曲的区域，好像总从指缝里溜走。
一个想法同时解决两者：无限逼近
下面这一招，能解开一切。我们没法直接量出「单独一点处」的斜率——斜率需要两个点。于是我们诚实地「作弊」：在附近取第二个点，量出穿过这两点的直线斜率，然后让第二个点越来越靠近第一个点，看着斜率往哪里趋近。它趋向的那个值，就是极限——当你把间隙不断缩小时，某个量所逼近的那个唯一数字，哪怕你永远碰不到它。
average slope from x to x+h = (f(x+h) - f(x)) / h lim h->0 (f(x+h) - f(x)) / h = f'(x)
这个极限有个名字：导数。导数恰恰就是「当间隙缩到零时，那些平均斜率的极限」——也就是瞬时变化率，正是切线问题的答案。同样这一招，从另一头攻破了面积问题，靠的是定积分。
- 要求曲线下方的面积，把这块区域切成许多你能测量的窄矩形，再把它们的面积加起来。
- 矩形有的超出、有的不及真正的曲线，所以这个和只是个估计——矩形越少，越粗糙。
- 现在用更多、更窄的矩形，再更多。这个总和会向某一个数字稳定下来——它的极限。这个极限就是定积分，是精确的累积量，而不仅仅是面积：对正值曲线它恰好等于面积，但极限才是真正的定义。
两半其实是一体
接下来这部分，至今仍像魔术。导数（把变化一瞬一瞬地拆开）和积分（把变化一片一片地堆起来）是互逆的运算——一个抵消另一个。把它们绑在一起的那条定理太重要了，被称为微积分基本定理，正因为有它，我们才能算积分，而不必没完没了地累加小矩形。
一个日常版本：速度表的读数是你位置的导数（距离变化得多快）；里程表则是你速度的积分（把所有那些瞬时速度累积成总路程）。速度和路程，是同一段旅程的两种看法——这就是整个微积分的缩影。