斜率，你早已拥有的那个想法
想象一条笔直的路爬上山坡。你每往前走10米，就升高2米。这个比值——纵向变化除以横向变化，这里是2/10——就是斜率：一个数字，说明这条线有多陡。路越陡，数字越大；平路，斜率为零；下坡，斜率为负。早在有人说出*微积分*这个词之前，你就在代数里见过它，而它正是整门学科赖以生长的种子。
同样的算术能描述任何一种变化，不只是山坡。如果一个[[function-calculus|函数]] f 告诉你某个量在每个输入处的值——账户里的钱随月份变化、走过的距离随秒数变化——那么它两点之间的斜率，就是[[rate-of-change|平均变化率]]：输出移动了多少，除以输入移动了多少。对一条直线，这个数字处处不变。对一条曲线，它就变了，而正是这一个事实，让故事开始变得有趣。
把平均变化率写下来
取一个函数 f 和两个输入 a 与 b。a 处的点位于高度 f(a)，b 处的点位于高度 f(b)。把这两点连成一条直线——它穿切过曲线，所以叫作割线（取自拉丁文的*切割*之意）。它的斜率就是 f 从 a 到 b 的[[rate-of-change|平均变化率]]，公式不过又是纵向除以横向：
average rate of change = ( f(b) - f(a) ) / ( b - a )
Example: f(x) = x^2, from a = 1 to b = 3
f(3) - f(1) 9 - 1 8
------------- = ------- = --- = 4
3 - 1 3 - 1 2所有例子里最熟悉的，是运动。如果 f(t) 是一辆车到时刻 t 为止走过的距离，那么 ( f(b) - f(a) ) / ( b - a ) 就是总距离除以总时间——也就是朴素的平均速度。两小时开了120公里，你的平均速度就是每小时60公里，无论这趟旅程实际上是怎么开的。
平均答不上来的那个问题
现在瞥一眼你的车速表。它显示的不是*整趟旅程*的60公里每小时——它显示的是你此时此刻开得有多快，而且你一碰油门它就变。这是一个全然不同的量：不是两小时里平均出来的速度，而是某一个时间点上的速度，那一刻根本没有时间流逝。这正是微积分为之而生的问题——而请注意，我们的公式在它面前噎住了。
试着把 b 设得等于 a，去算单一瞬间的速度。横向 b - a 变成了0，纵向 f(b) - f(a) 也变成了0。公式塌缩成 0/0——毫无意义。单一瞬间只是一个点，而你没法只穿过一个点画出割线；要有斜率，你至少需要两个点。所以与其去要求那不可能之事，我们改用一招更聪明的：让 b 离 a *稍微*有点距离，然后把它越挪越近，盯着割线的斜率会怎么变。
- 锁定你关心的那一瞬间——比如曲线 f(x) = x^2 上的 a = 1。
- 选一个离它一小步的第二点 b，算出割线斜率 ( f(b) - f(1) ) / ( b - 1 )。
- 把 b 挪得更靠近1——试 1.1，再试 1.01，再试 1.001——每次都重新算一遍。
- 看这些斜率是否朝着某一个数字归拢。如果是，这个数字就是瞬时变化率。
看着割线斜率安顿下来
我们就真的为 f(x) = x^2 在 a = 1 处做一遍这个实验。我们绝不把 b 设得正好等于1——那会给出 0/0——而是让它一点点逼近，把每一次的割线斜率记下来。几行算术就让这个规律藏不住了。
def f(x):
return x * x
a = 1.0
for b in [2.0, 1.5, 1.1, 1.01, 1.001, 1.0001]:
secant_slope = (f(b) - f(a)) / (b - a)
print(b, secant_slope)
# b secant slope
# 2.0 3.0
# 1.5 2.5
# 1.1 2.1
# 1.01 2.01
# 1.001 2.001
# 1.0001 2.0001看看刚才发生了什么。我们从来无法直接代入 b = 1，可这些斜率对自己要去往哪里毫不含糊：2。那个目标值——当两点挤到一起时割线斜率所趋向的数字——就是我们很快要称之为[[limit|极限]]的东西。它们安顿下来的那个斜率，就是恰好在那一个点上轻擦过曲线的[[tangent-line|切线]]的斜率，而它*就是*瞬时变化率。把这套构造推到它的极限，整件事就成了[[derivative-calculus|导数]]——下一条学习线的引擎。