函数到底朝哪儿去？
想象你正朝一道门口走去。随着步子越迈越小，在你真正到达之前，就有一个明确的位置是你正在*靠近*的——哪怕由于某种原因，你永远不许踩上门槛本身。极限捕捉的正是这件事：当 x 被一点点推向某个目标 a 时，函数 f(x) 越来越靠近的那个值。我们写成 lim x->a f(x)，读作「当 x 趋近 a 时 f(x) 的极限」。
关键的妙处——也是极限之所以强大的原因——在于极限并不在乎在 x = a *那一点*发生了什么。它只在乎*趋向* a 的这段旅程。函数在 a 处也许没有定义，也许在那里做点古怪的事；极限会悄悄无视这孤零零的一个点，只问一句：「附近的输出值都挤在哪个数周围？」
一个例子：一个不成问题的洞
取 f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)，问当 x 趋近 1 时会发生什么。直接代入 x = 1，你得到 0/0，这没有意义——这叫做不定式。函数在 x = 1 处干脆就没有定义。但这并不妨碍我们去问它*朝哪儿去*。
- 注意分子可以分解：x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)。
- 于是 f(x) = (x - 1)(x + 1) / (x - 1)。对每一个*不等于* 1 的 x，(x - 1) 都能约掉，只剩下 x + 1。
- 当 x 滑向 1，x + 1 就滑向 2。所以 lim x->1 f(x) = 2——尽管 f(1) 本身从来不存在。
x f(x) = (x^2-1)/(x-1) 0.9 1.9 0.99 1.99 0.999 1.999 1.0 undefined (0/0) 1.001 2.001 1.01 2.01 1.1 2.1
从两侧逼近，以及极限何时不存在
你可以从左边（x 略小于 a）或从右边（x 略大于 a）趋近 a。这给出左极限和右极限，统称单侧极限。只有当两者一致地趋向同一个值时，双侧极限才存在。如果函数会因为你从哪一侧过来而跳到不同的高度，那么极限干脆就不存在。
极限失败有几种真实的方式：两侧不一致（跳跃），函数冲向无穷（尖峰），或者它永远抖动、始终安定不下来，比如 sin(1/x) 在 0 附近的样子。「极限存在」是一句可能为假的实在断言——请保持这份健康的怀疑。
把「接近」说精确——以及一个著名的夹挤
「越来越接近」听上去很清楚，但数学家想把它弄得滴水不漏。ε-δ 定义把它说成一场挑战游戏：你说出*你要求输出离 L 有多近*（一个容差 ε，比如说要在 0.001 之内），而我必须找出*输入离 a 要有多近*（一个距离 δ）才能保证做到。只要无论你设的挑战多么微小，我总能应对，那么极限就真的等于 L。这句话——「你要多近，我就能做到多近」——就是全部的精髓。
有时极限很难正面强攻，于是我们把它困住。夹挤定理说：如果一个函数被夹在另外两个都趋向同一个值 L 的函数之间，那么它也别无选择，只能趋向 L。最经典的回报就是 lim x->0 sin(x)/x = 1——代入 x = 0 你又会得到 0/0，可把 sin(x)/x 夹在两个都趋向 1 的函数中间，就能把答案钉得分毫不差。等我们建立导数时，会大量用到这个结果。