走向数轴的遥远尽头
到目前为止，我们一直在问：当 x 趋近某个普通的点 a 时，函数会怎样。现在我们换个问题：当 x 一直向右跑到永远、或一直向左跑到永远时，f(x) 会怎样？这就是无穷处的极限。我们并不是把「无穷」当成一个数代进去——根本没有这样一个数。我们描述的是一种趋势：当 x 无止境地增大时，f(x) 是否会朝某个唯一的值安顿下来，还是不停往上爬，或是四处游荡？
取 f(x) = 1/x。当 x 朝着越来越大的值进发——10、1000、一百万——输出会越来越小：0.1、0.001、0.000001。它永远到不了 0，但毫无疑问正朝那里去。我们写作 lim x->infinity 1/x = 0。它的图像越来越紧地贴近水平线 y = 0；这条线叫做水平渐近线，而求它正好就是在问无穷处的极限。
读出末端走势，以及那些滑溜的形式
对于两个多项式之比，末端走势由分子和分母最高次幂之间的一场拔河决定。一个好用的技巧：把每一项都除以分母里 x 的最高次幂，然后让剩下的那些 1/x 碎片消失。来看看它在 f(x) = (3x^2 + 5) / (2x^2 - 7) 上是怎么起作用的。
lim x->infinity (3x^2 + 5) / (2x^2 - 7) = lim (3 + 5/x^2) / (2 - 7/x^2) [divide top & bottom by x^2] = (3 + 0) / (2 - 0) [each 1/x^2 -> 0] = 3/2
注意我们绕开了什么。如果你贸然先让 x -> infinity，分子奔向无穷，分母也奔向无穷，留下毫无意义的表达式 infinity/infinity。这就是一个不定式：光看符号本身并不能告诉你答案。同样的麻烦也会以 0/0 的形式出现——比如，定义导数的差商，本质上就是一个伪装起来的 0/0 情形。「不定」并不是说「没有答案」，而是说「你得看得更仔细」。在这里，看得更仔细（那个相除的技巧）揭示出答案自始至终都是干净利落的 3/2。
无穷小的诚实故事
当牛顿与莱布尼茨在 1600 年代发明微积分时，他们是用无穷小来推理的——他们设想这是一些「无穷地小」的量：比你能说出的任何正数都小，却又不知怎地不等于零。为了求斜率，莱布尼茨会把 dy/dx 写成两个这样无穷小的微小推动 dy 与 dx 之比。这些方法对行星和潮汐给出了惊人正确的答案，这也是人们一直沿用它们的原因。
但逻辑上有一道裂缝。批评者问：在同一次计算里，dx 一会儿表现得像个非零的数（你拿它来作除数），过一会儿又被当作零（你把它丢掉）。它到底是哪一个？哲学家乔治·贝克莱讥讽这些消失的量是「已逝之量的幽灵」。这些套路确实管用，可没人能干净利落地说出为什么。
- 由柯西与魏尔斯特拉斯在 1800 年代理清的诚实修正，是不再谈论一个固定的「无穷小的数」，转而谈论一个趋近的过程。
- 我们不用无穷小的 dx，而是用一个虽小却普通的 h，先做代数运算，然后取 h -> 0 时的极限——让 h 朝 0 收缩，却始终不等于 0。
- 这就化解了那个悖论：在我们计算的过程中，h 是一个货真价实的非零数，可以拿来作除数；只有到最后，我们才去问当 h 趋近 0 时表达式正朝哪里去。从来没有任何东西在同一瞬间既是零又不是零。
为第一阶收尾：把无穷小与无穷大讲精确
看看仅仅一个观念就承载了多少东西。极限让我们能谈论一个函数趋近却永不抵达的目的地（1/x 奔向 0）。它让我们能伸向无穷，读出一个函数的长远行为（趋于 3/2 的渐近线）。它还让我们能把一个变化量缩向乌有，却仍然可以拿它作除数（h -> 0 时的斜率）。无穷小与无穷大是同一枚硬币的两面，而极限正是让我们诚实地驾驭它们两者的东西。
正是这同一个极限，是贯穿整个第一阶的那条线索：它是连续的定义方式（极限等于取值），而在后面的阶里，它就字面意义上是导数的定义（差商的极限）与定积分的定义（求和的极限）。一旦你对「这个东西趋近什么？」感到自在，微积分余下的内容就成了一个你早已会问的问题的种种变奏。