连续性：没有断裂的曲线

笔不离纸的画面

对连续性最友好的检验是这样的：想象你用手画出一个函数的图像。如果你能一路描完整条曲线、笔始终不离开纸面，那么这个函数就是连续的。一天里室外的气温、一株正在长高的植物、一个被抛出的球的位置——它们都平滑地变化，不会从一个值瞬移到另一个值，所以它们的图像是不间断的。

现在想想，笔在哪些地方*不得不*离开纸面。也许曲线突然跳到一个新高度；也许有一个孤零零缺失的点——一个小小的空洞——在那里函数没有定义，或者落在了错误的位置；也许曲线在某个值附近一飞冲天奔向无穷。这些每一种都是一个断裂，每一处都是函数失去连续性的地方。下面整套形式化的说法，不过是用一种谨慎的方式表达：在这一点上，曲线没有断。

用极限把它说精确

在前面的台阶上，你已经认识了极限：lim x->a f(x) 是当 x 逼近 a 时，曲线*正趋向*的那个唯一的值——不管在 a 这一点上究竟发生了什么。连续性把这个「趋向的值」和函数真正取到的值联系起来。当曲线趋向的地方，正是它真正落脚的地方时，函数 f 就在 a 处连续。

f is continuous at a  <=>  lim x->a f(x) = f(a)

1. f(a) 存在——函数在 a 处确实有定义；图上那里有一个点，而不是一个空洞。
2. lim x->a f(x) 存在——曲线趋向一个确定的值，从两边趋近得到的结果相同（左、右单侧极限一致）。
3. 两者相等——它趋向的值等于它落脚的值：极限等于 f(a)。

曲线断裂的三种方式

当那个等式不成立时，这种失败是有形状的，给常见的几种取个名字会很有帮助。跳跃间断就像一级台阶：曲线从左边趋近到一个高度，从右边却趋近到另一个不同的高度，于是单侧极限不一致，极限不存在。想想停车费：一小时以内是 2 元，可一过一小时的那一瞬间就变成 5 元——费用跳了一下。

可去间断是一个孤立的空洞：曲线干净利落地趋向某个值（极限存在），可 f(a) 却缺失，或被设到了错误的位置。之所以叫*可去*，是因为你只要补上那一个点，就能让函数变得连续。无穷间断则是一条竖直渐近线：在 a 附近曲线冲向 +无穷 或 -无穷，就像 1/x 在 x = 0 附近那样，于是根本不存在有限的极限。

g(x) = (x^2 - 1) / (x - 1)
# equals x + 1 everywhere EXCEPT x = 1, where it is 0/0 (undefined).
# lim x->1 g(x) = 2, but g(1) does not exist  ->  removable hole at (1, 2).

连续性凭什么这么有用

连续性不只是「整齐」而已——它换来的是各种保证。其中最响亮的一条是介值定理：如果 f 在从 a 到 b 的区间上连续，那么它在这一路上的某处，会取到介于 f(a) 和 f(b) 之间的*每一个*值。一条不间断的曲线，要从一个高度到达另一个高度，就不可能不经过中间所有的高度——没有门可以让它溜过去，因为根本就没有缝隙。

这话听起来理所当然，可它是个干活的主力。假设 f 连续，f(a) 是负的，f(b) 是正的。既然 0 夹在一个负数和一个正数之间，定理就保证了在 a 与 b 之间*存在某个*点 c，使得 f(c) = 0——也就是一个根。这正是你锁定一个无法手算求解的方程的解的办法：把它夹在一个负值和一个正值之间，然后一点点收紧。

1. 找到两个点 a 和 b，使 f(a) < 0 而 f(b) > 0（符号变了）。连续性保证它们之间藏着一个根。
2. 检查中点 m = (a + b) / 2。哪一半的两端符号仍然相反，根就一定在那一半里。
3. 不断把区间对半切下去。每一步都让精度翻倍，这个夹缝会按你想要的紧度收向那个根。