我们为什么需要法则
在上一阶你看到，导数确实是一个差商的极限：f'(x) = lim h->0 (f(x+h) - f(x)) / h。这个定义就是本质，亲手算上几次很值得，能让这个想法扎根。但想象一下，每次遇到 x^2、sqrt(x) 或 3x^5 - x + 7 都要把那个极限从头磨一遍。没人会这么做。数学家们对一整族一整族的函数把极限算了一次，再把结果打包成简短的法则。这些法则并不是另一种数学——每一条都正是极限给出的结果，只是被记了下来，省得你每次重新推导。
幂法则，以及常数与求和
主力是幂法则：要对 x 的某个数次幂求导，就把指数拿到前面来，并把它减一。用符号写就是 d/dx x^n = n x^{n-1}。于是 x^2 变成 2x，x^5 变成 5x^4，而 x（也就是 x^1）变成 1。它对负指数和分数指数同样有效：1/x = x^{-1} 的导数是 -1 x^{-2} = -1/x^2，而 sqrt(x) = x^{1/2} 的导数是 (1/2) x^{-1/2} = 1/(2 sqrt(x))。
再加两条法则，你就能处理整个多项式。常数倍法则说，挂在前面的数字只是随行而已：d/dx (c f) = c f'(x)，所以 3x^5 的导数是 3 乘 5x^4 = 15x^4。求和法则说，你可以逐项求导：d/dx (f + g) = f'(x) + g'(x)。而一个纯常数的导数是 0——一条水平线没有斜率。把这些合起来，任何多项式都能一眼写出它的斜率。
f(x) = 3x^5 - x + 7
f'(x) = 15x^4 - 1 + 0
= 15x^4 - 1乘积与商（要小心的那两个）
这里有初学者最常踩的坑。当两个函数相乘时，导数并不是 f'(x) 乘 g'(x)。这干脆就是错的，你可以验证：若 f = g = x，则 f g = x^2，其导数是 2x，可是 f'g' = 1 乘 1 = 1。正确的乘积法则是 (f g)' = f'(x) g(x) + f(x) g'(x)——读作「对第一个求导而保留第二个，加上保留第一个而对第二个求导」。每个因子轮流变化一次。
对于一个比值 f(x)/g(x)，商法则是 (f/g)' = (f'(x) g(x) - f(x) g'(x)) / g(x)^2。注意那个减号和顺序——带 f' 的那一项在前——而且整个分母要平方。一个记忆口诀：「下乘上的导，减去上乘下的导，除以下的平方」。它只在 g(x) 不为 0 处才有意义，因为不能除以零。
- 用乘积法则对 h(x) = x^2 sin(x) 求导。第一个因子 f = x^2，f' = 2x；第二个因子 g = sin(x)，g' = cos(x)。
- 拼出 f'g + fg'：h'(x) = 2x sin(x) + x^2 cos(x)。完成——不需要任何极限。
- 再来一个商：q(x) = x / (x^2 + 1)。用「下乘上的导减上乘下的导，除以下的平方」：q'(x) = (1 (x^2 + 1) - x (2x)) / (x^2 + 1)^2 = (1 - x^2) / (x^2 + 1)^2。
再记几个导数，以及走到二阶
有几个非多项式的导数值得背下来，因为它们到处都会出现：d/dx e^x = e^x（这个函数就是它自己的斜率）、d/dx ln(x) = 1/x（当 x > 0 时）、d/dx sin(x) = cos(x)，以及 d/dx cos(x) = -sin(x)。这些当初都是直接从极限定义证出来的；你只管拿来用就好。配上上面那四条法则，你现在可以用一两行就对 e^x cos(x) 或 (ln x)/x 这样的式子求导。
因为一个函数的导数本身也是一个函数，你可以再求一次导。这就得到二阶导数，一种高阶导数，记作 f''(x) 或 d^2y/dx^2。如果一阶导数是变化率，那么二阶导数就是「这个变化率」的变化率。在运动中它是加速度（你的速度本身变化得有多快）；在图像上它是凹凸性（曲线是像微笑那样向上弯，还是像皱眉那样向下弯）。对 f(x) = x^3，我们得到 f'(x) = 3x^2，再求一次得 f''(x) = 6x——当 x > 0 时为正，所以曲线在那里向上弯。