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隐函数求导与相关变化率

有些曲线，比如圆 x^2 + y^2 = 25，没法干净利落地解出 y。靠[[implicit-differentiation|隐函数求导]]你仍然能求出它们的斜率——而同一个技巧用到时间上，就成了[[related-rates|相关变化率]]：一架下滑的梯子、一只充气的气球、一片上涨的潮水，是如何一起变化的。

当你解不出 y 的时候

到目前为止，每个函数都来得很整齐：y 被显式地写成 x 的式子，比如 y = x^2 或 y = sin(x)，你对右边求导就行。但有很多曲线不肯长成这个样子。圆 x^2 + y^2 = 25 就是经典例子：你想解出 y，得到的是 y = +sqrt(25 - x^2) 或 y = -sqrt(25 - x^2)——两个半圆，而不是一个干净的函数。更糟的曲线，比如 x^3 + y^3 = 6xy，根本就解不开。可这些曲线在每一点上显然都有切线，所以理应有斜率。我们怎样不解出 y 就把它求出来？

关键的想法只是态度上的一点转变。尽管我们从没把 y 写成 x 的公式，但在大多数点附近，曲线确实表现得像某个函数 y(x)——在圆的上半部分取一个点，在局部 y 真的就是 x 的函数。于是我们把 y 当成「y，它暗地里依赖于 x」，再对整个方程求导。让这一切行得通的那一条法则，正是上一阶的链式法则：每当你对一个由 y 搭成的东西求导，都必须乘上 dy/dx，因为 y 本身会随着 x 变化而变化。

隐函数求导的步骤，用圆来演示

我们来求圆 x^2 + y^2 = 25 在点 (3, 4) 处的斜率——这个点确实在圆上，因为 9 + 16 = 25。计划是：对两边都关于 x 求导，记得 y 带着一个隐藏的 dy/dx，然后从得到的方程里解出 dy/dx。

  1. 把每一项都关于 x 求导。x^2 得到 2x；y^2 得到 2y dy/dx（链式法则）；常数 25 得到 0。结果是：2x + 2y dy/dx = 0。
  2. 用代数解出 dy/dx：把 2x 移过去，再除以 2y，得到 dy/dx = -2x / (2y) = -x / y。注意斜率同时依赖于 x 和 y——这很自然，因为曲线上每个点都有它自己的切线。
  3. 代入点 (3, 4)：dy/dx = -3 / 4。在 (3, 4) 处的切线缓缓地向下倾斜，这与圆的右上方那段图像正好吻合。
x^2 + y^2 = 25

d/dx :  2x + 2y (dy/dx) = 0

        dy/dx = -x / y

at (3, 4):  dy/dx = -3/4
隐函数求导：逐项求导，给每个含 y 的项附上 dy/dx，再解出 dy/dx。

相关变化率：关于时间求导

隐函数求导在现实世界里大显身手，就在这里。常常有两个或更多的量被一个方程绑在一起，而且它们全都随着时间流逝在变化。相关变化率问题问的是：已知一个量变化得有多快，另一个量变化得有多快？技巧和之前一模一样——对那个关系式求导——只不过现在所有东西暗地里依赖的变量是时间 t，于是每一项都带上一个 d/dt 和一个链式法则因子。

拿最受欢迎的例子：一架 10 英尺长的梯子靠在墙上，它的底端以 2 英尺/秒被往外拉离墙。当底端离墙 6 英尺时，顶端正以多快向下滑？墙、地面和梯子组成一个直角三角形，所以由勾股定理 x^2 + y^2 = 10^2，其中 x 是底端距离，y 是顶端高度。x 和 y 都依赖于时间。关于 t 求导得到 2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0——和圆是一样的形状，只不过现在 dy/dx 变成了 dy/dt，而且我们还多出一个 dx/dt。

  1. 写出关系式并关于 t 求导：由 x^2 + y^2 = 100 得到 2x (dx/dt) + 2y (dy/dt) = 0，即 x (dx/dt) + y (dy/dt) = 0。
  2. 在被问到的那一刻把数字代进去。当 x = 6 时，高度 y = sqrt(100 - 36) = 8，而题目告诉我们 dx/dt = +2（底端向外移动）。代入：6(2) + 8 (dy/dt) = 0。
  3. 解出那个未知的变化率：8 (dy/dt) = -12，所以 dy/dt = -1.5 英尺/秒。负号表示顶端正以 1.5 英尺/秒向下滑——比底端向外移动得慢，正如直觉所料。

第二个例子，与它们共有的形状

一只正在充气的球形气球用的是同一套机制。它的体积是 V = (4/3) pi r^3，其中 V 和 r 都随时间增长。关于 t 求导——链式法则把 r^3 变成 3r^2 (dr/dt)——得到 dV/dt = 4 pi r^2 (dr/dt)。如果空气以 dV/dt = 100 立方厘米每秒被打进去，那么当半径 r = 5 厘米时，我们可以解 100 = 4 pi (25)(dr/dt)，得到 dr/dt = 1 / pi 厘米/秒。气球的表皮在稳定地向外推，但随着球体变大，半径增长得越来越慢，因为同样多的空气现在得去铺一个更大的表面。

退一步就会发现，这两个世界演的是同一出戏。隐函数求导是把一个含 x 和 y 的关系式关于 x 求导，给含 y 的部分附上 dy/dx。相关变化率是把一个含若干个量的关系式关于时间 t 求导，给每个在变化的量附上像 dx/dt 或 dr/dt 这样的变化率。两者的引擎都是老老实实地用链式法则，而最后一步都是纯代数：把你想要的那个导数孤立出来。