放大之后，曲线变直了
在一条光滑曲线上任选一点，然后不断放大它。弯曲会变得越来越平缓，直到足够近时，曲线已经和一条直线分不出来了——而这条线正是你初学导数时遇到的那条切线。这就是线性逼近背后的全部想法：在点 a 附近，复杂的函数 f 的表现几乎就像它的切线。那条切线的斜率是 f'(a)，所以经过点 (a, f(a)) 的这条线是 L(x) = f(a) + f'(a)(x - a)。当 x 靠近 a 时，f(x) 约等于 L(x)。
动手估算 sqrt(4.1)
假设你需要 sqrt(4.1)，手边却没有计算器。精确答案很别扭，但 sqrt(4) = 2 很容易，而 4.1 就紧挨着 4。于是令 f(x) = sqrt(x)，把锚点放在 a = 4。导数是 f'(x) = 1/(2 sqrt(x))，所以 f'(4) = 1/(2 乘 2) = 1/4。现在只要沿切线走一小步 x - a = 0.1 就行。
f(x) = sqrt(x), a = 4, x = 4.1
f(a) = sqrt(4) = 2
f'(a) = 1/(2 sqrt(4)) = 1/4
sqrt(4.1) ~ f(a) + f'(a)(x - a)
= 2 + (1/4)(0.1)
= 2.025
(true value 2.0248... -> off by about 0.0002)对于这段升高本身，有一个简洁的记法。x 的微小变化叫做 dx，由此引起的切线高度变化就是微分 dy = f'(a) dx。这里 dy = (1/4)(0.1) = 0.025，正是我们加到 2 上的那一点。微分不过是「斜率乘以步长」的紧凑写法，这也正是为什么 dy/dx 和 f'(x) 表示同一件事。
洛必达法则拯救 0/0
现在说第二个好处。有些极限给你的是一个分式，分子和分母同时冲向 0，比如 lim x->0 sin(x)/x。代入得到 0/0，它既不是 0，也不是 1，更不是无穷——它是一个不定式，单凭符号无法回答的问题。同样的麻烦也以 infinity/infinity 的形式出现。洛必达法则说：当 f(x)/g(x) 的极限确实是 0/0 或 infinity/infinity 时，你可以分别对分子和分母求导，改而求 f'(x)/g'(x) 的极限。
- 先检查形式。对 lim x->0 sin(x)/x，代入 x = 0：sin(0)/0 = 0/0。是的，它是不定式，所以可以用这条法则。
- 各自对分子和分母求导（不是商法则）：d/dx sin(x) = cos(x)，d/dx x = 1。
- 求新的极限：lim x->0 cos(x)/1 = cos(0)/1 = 1。于是 lim x->0 sin(x)/x = 1。
只在形式合格时才用它
洛必达法则很强大，这也让它容易被误用。最常见的错误，就是把它用在一个并非不定式的极限上。看 lim x->0 cos(x)/(x + 1)：代入得到 1/1 = 1，这是一个完全正确的答案——可若对分子分母求导，会得到 -sin(x)/1，其极限是 0，错的。在动用这条法则之前，永远要先确认你确实拿到的是 0/0 或 infinity/infinity。
本阶的两个想法都倚靠同一个洞见：在一点附近，一个光滑函数能被它的斜率很好地描述。线性逼近用这个斜率去预测附近的值；洛必达法则用分子和分母的斜率，去裁决一个原始数值悬而未决的比值。同一个导数，两种非常不同的救援。