从一条曲线到一张薄片
上一篇把一个向量场沿一维路径累加起来：那是一个线积分，即你拖动某物沿曲线行进时所做的总功。现在我们上升一维。代替一根导线的，是一张薄片——一块球面、一片平面方块、一只圆柱弯曲的侧壁——而我们要在这二维曲面上累加某个量。这就是曲面积分，从曲线到薄片这一步，正与第一卷里从普通定积分到二重积分那一步如出一辙：一个积分号变成两个，因为一张薄片有两个方向可供扫过。
实际上有两种风味，从一开始就值得把它们分清。第一种是标量的曲面积分——把一个标量场 f 在薄片上积分，写作 f 乘 dS 的二重积分。设想把厚薄不均的漆涂在一片弯曲的屋顶上，问漆的总质量：你并不在意屋顶朝哪一面，只称量落在每一小块上的东西。第二种风味是向量场的通量积分，那里曲面的朝向就是一切。本篇先搭建较温和的标量那种，再用它来组装通量。
先把薄片参数化，再称量每一小块
要在弯曲曲面上积分，你得先描述它。标准手段是参数化：一个映射 r(u, v)，把一块平直的 (u, v) 取值矩形弯折成置于空间中的曲面，r(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v))。譬如单位球面，由两个角度扫出；而图像 z = g(x, y) 则是简单情形，此时 x 与 y 本身就是参数。参数 u 与 v 像是印在薄片上的纬线与经线：曲面的每一点都得到一个地址 (u, v)，而参数空间里一个 du 乘 dv 的小矩形，映成曲面上一小块弯曲的补片。
这一小块有多大？固定 v、轻推 u：该点便沿曲面滑动，速度为 r_u = partial r / partial u，即位置对 u 的偏导数。改推 v，则得到 r_v = partial r / partial v。这两个切向量张起那一小块，它极接近一个以 r_u du 与 r_v dv 为边的平行四边形。以两个向量为边的平行四边形面积，等于它们叉积的长度，所以这块的面积是 |r_u cross r_v| du dv。这个模长就是局部的拉伸因子——平直的参数矩形被弯到曲面上时被放大了多少——它正是任何变量替换下用来重新标度面积的那个雅可比行列式在曲面上的对应物。
现在标量曲面积分便自行组装起来。曲面面积元是 dS = |r_u cross r_v| du dv，而 f 在薄片 S 上的曲面积分，就是在参数矩形上对 f(r(u, v)) 乘以那个 dS 所作的二重积分。读出来便是：在每一小块上，取该处场的值，乘以这块真实的（已拉伸的）面积，再在整个矩形上累加。若 f 恒为 1，你恰好回收得到曲面面积本身——一个让人安心的核对，表明这套机器度量的正是它该度量的东西。
定向：选定一面并坚持到底
对通量而言，我们要的不止是面积——还要知道薄片朝哪一面。曲面在每一点都有两个单位法向量，分别指向它的两侧；叉积给出一个天然的法向量，n = (r_u cross r_v) / |r_u cross r_v|，一支单位长、与两个切方向都垂直的箭头。给曲面定向，就是在这两者之间作出一个整体的、连续的选择：球面的向外对向内，图像的向上对向下。一旦选定，这个 n 必须随你在薄片上滑动而平滑变化——不得突然翻转。
反转定向——选取另一个法向量 -n——会把你算出的每一个通量都变号，正如反转你描绘曲线的方向会把线积分变号一样。所以一个有向曲面积分只有在你认定了某一面之后才有定义，而你必须言明是哪一面。还有一条边界约定，下一篇里将关系重大：若曲面带有边缘，薄片的定向便挑定一个绕其边界曲线行走的方向，由右手定则固定——让右手拇指顺着 n，四指便沿边缘的正方向卷曲。记住这幅画；它正是斯托克斯定理转动所凭的那道枢纽。
通量：有多少场倾泻而过
现在把向量场 F 想象成一种流动——比方说流体的速度，每一点上一支箭头，告诉你水朝哪个方向、以多快流动。F 穿过一个有向曲面的通量，就是单位时间内净穿越它的流体体积，沿 n 方向记为正、逆 n 方向记为负。关键的洞见是：只有刺穿薄片的那部分流动才有贡献；沿曲面滑行、与之平行的流动，什么也带不过去。把刺穿那部分提取出来的器械，是点积：F . n 是流动沿法向的分量，即流体实际穿越的速率。
于是通量积分就是那个法向分量的曲面积分：F . n dS 在 S 上的二重积分。一块接一块，你取该处流体穿越的快慢（F . n），乘以这块的面积（dS），再相加。一旦你想起 n dS = (r_u cross r_v / |r_u cross r_v|) 乘以 |r_u cross r_v| du dv，便有一条优美而紧凑的捷径——模长相消，你剩下的是向量曲面元 dS = (r_u cross r_v) du dv，一支方向为法向、长度为补片面积的箭头。于是通量不过是 F . (r_u cross r_v) du dv 的二重积分，根本不必算平方根。定向则完全寄居于 r_u cross r_v 与 r_v cross r_u 的次序之中。
一次从头到尾算出的通量
让我们度量径向场 F = (x, y, z) 向外穿过单位球面的通量——这是最干净不过的例子，也是我们稍后可以拿散度定理来核对的一个数。用两个角度参数化：r(theta, phi) = (sin phi cos theta, sin phi sin theta, cos phi)，其中 phi 从 0（北极）跑到 pi（南极），theta 绕一圈从 0 到 2 pi。下面的步骤把它走完；唯一的手艺，是算一个叉积、一个点积，随后是一个例行的二重积分。
- 切向量：r_theta = (-sin phi sin theta, sin phi cos theta, 0)，r_phi = (cos phi cos theta, cos phi sin theta, -sin phi)。
- 向量曲面元：r_phi cross r_theta 算得 sin phi 乘 (sin phi cos theta, sin phi sin theta, cos phi) = sin phi · r。它指向径向外侧（之所以取「先 phi 后 theta」的次序就是为此）——符号核对通过。
- 与场作点积：在球面上 F = r，故 F . (r_phi cross r_theta) = sin phi (r . r) = sin phi，因为单位球面上 r . r = 1。
- 积分：通量 = theta 从 0 到 2 pi、phi 从 0 到 pi 对 sin phi dphi dtheta 的积分 = 2 pi 乘以（sin phi 从 0 到 pi 的积分）= 2 pi 乘 2 = 4 pi。
答案 4 pi，恰好是单位球面的表面积——这很合理，因为径向场在球面上处处单位长、笔直向外，故每一小块上 F . n = 1，通量便不过是总面积。这个结果也值得收存起来：它正是点电荷高斯定律里出现的那个 4 pi，而在隔一篇之后，散度定理会把这个曲面积分变成 F 的散度的体积分，瞬间重现它——对 F = (x, y, z)，散度是常数 3，3 乘单位球的体积 3 · (4/3) pi，又是 4 pi。两条路，一个数；这份吻合，正是后续那些定理的全部要旨。
为什么这套记账要紧
人们很容易把定向当作吹毛求疵的细节，但它是随后一切的承重之念。那几大积分定理都有相同的构架：区域上的积分等于其边界上的积分——前提是边界与区域的定向彼此相容。斯托克斯定理把 F 绕一条闭曲线的环量，等同于其旋度穿过该曲线所围任一曲面的通量；我们上面遇到的右手定则，正是使两边符号相符而非相消的关键。散度定理把穿过闭曲面的向外通量，等同于内部散度的积分；这里的「向外」是不容商量的定向。把面弄错，一条真定理就成了一个符号错误。
还有一条关于光滑性的告诫，与定向那条出自同样诚实的精神。面积元 dS 来自切向量的叉积，这就假定了曲面有良好定义的切向——它必须光滑，至多由有限多片光滑曲面拼成。在尖锐的锥顶或立方体的接缝处，法向是无定义的，你处理这类曲面的办法，是把它们拆成若干光滑的面、各自一致地定向、再求和。这些定理之所以容许分片光滑曲面，恰恰因为穿过一条棱边（一个面积为零的集合）的通量毫无贡献。光滑性与可定向性是两条常驻的前提；点明它们，格林、斯托克斯与高斯的语法便可以开口言说了。