沿路径累加功
在第一卷里，定积分沿 x 轴的一段直线累加某个量：把 [a, b] 切成微小的小段，每段乘以 f 在那里的高度，再求和。线积分做的是完全一样的事，只是路径不再是一段平直的区间——而是一条在空间中蜿蜒的曲线 C，并且我们累加的不是高度，而是一个向量场的推力。想象你沿一条弯曲的小径走过一阵稳定的风。每走一步你前进一个微小的位移向量 dr，而那里的风有自己的向量 F。风在这一步上做的功就是点积 F · dr——只有与你运动方向一致的那部分风算数。
把这些微小的点积沿整条曲线求和并取极限，你就得到线积分，记作「沿 C 对 F · dr 的积分」。这正是物理中的功积分：力在物体沿 C 行进时所做的总功。要真正算它，你用一个参数 t 描出曲线——比如 r(t) = (x(t), y(t))，t 从 0 到 1——于是 dr = r'(t) dt。整个表达式塌缩回一个关于 t 的普通单变量积分：「从 0 到 1 对 F(r(t)) · r'(t) dt 的积分」。这就是实用配方；本指南其余部分讲的是什么时候可以不必这么辛苦地硬算。
意外：有时路径无关紧要
下面这个实验打开了整个主题。挑两个点 A 和 B。沿一条路径计算 F 从 A 到 B 的线积分；然后沿一条迥然不同的路径再算一次。对一般的场，这两个数不相等——花费的功取决于路线，就像你开车横穿城市烧掉的汽油取决于你走哪些街道。但对某些特殊的场，从 A 到 B 的每一条路径都给出完全相同的答案。这个场具有路径无关性：积分只取决于端点，与中间如何蜿蜒毫无关系。
路径无关性有一个等价、甚至更惊人的面孔。如果每一条 A 到 B 的路径都给出同一个数，那么取任意一个回路——回到出发点的闭合曲线——把它拆成去程和回程。两段相互抵消，于是沿任意闭合回路的线积分为零。具有这一性质的场叫做[[conservative-field|保守场]]，这名字直接借自物理：引力和静电场是保守的，这恰恰是能量守恒的陈述——你不可能绕一个闭合回路一圈，回来时口袋里凭空多出功。相比之下，摩擦力是非保守的：拖着它走一个闭合回路，你付出的能量是实打实的、永远拿不回来。
无关路径的答案藏在哪里：标量势
为什么一个场会如此规矩？因为它暗地里是某一片地形的坡度。设想一个标量高度函数 phi(x, y, z)——一个标量势，给每个点指派一个普通的数，就像地形图上的海拔。由第一卷和之前的多变量阶段你知道梯度 nabla phi：指向最陡上升方向的向量，其长度等于最陡的坡度。一个场恰好在它「就是」这样一个梯度时是保守的——即对某个 phi 有 F = nabla phi。这个力处处只是指向「phi 的下坡」（或按约定指向上坡），而正是这片隐藏的地形让路线不再重要。
在二维有一个快速的现场检验。写 F = (P, Q)。如果 F 来自一个势，那么混合偏导数必须相等——P 对 y 的偏导数必须等于 Q 对 x 的偏导数。（这不过是把二阶导数的克莱罗对称性用到 phi 上。）当这个等式在一个没有洞的区域上成立时，F 是保守的、势存在；把 P dy 与 Q dx 拼成一个对象，就是高等微积分所说的[[exact-form|恰当形式]]，即 phi 的微分。诚实的告诫在「没有洞」三个字里：在带有穿孔的区域上，检验可能局部通过，但场仍绕着洞环流，于是不存在单值的全局势。经典例子是像 1/r 那样绕原点打旋的场——局部无旋，全局却不保守。
梯度定理：路径上的微积分基本定理
回忆第一卷的微积分基本定理：把一个导数 f' 从 a 积到 b，只是返回 f(b) - f(a)。你从不累加内部；你在两端读出原函数再相减。[[gradient-theorem|梯度定理]]——也叫线积分基本定理——正是这同一陈述抬升到曲线上的版本。若 F = nabla phi，则「沿 C 对 nabla phi · dr 的积分 = phi(B) - phi(A)」，其中 A 与 B 是曲线的起点和终点。路径的内部蒸发了；只剩下两个端点处的势。
证明是一行链式法则，值得一看，因为它揭示了定理为何必然成立。用 r(t)（t 从 a 到 b）参数化 C。沿曲线，势变成一个单变量函数 g(t) = phi(r(t))。多变量链式法则给出 g'(t) = nabla phi(r(t)) · r'(t)——这恰恰是我们线积分的被积函数。于是我们在把 g'(t) 从 a 积到 b，而普通的微积分基本定理把它收尾为 g(b) - g(a) = phi(B) - phi(A)。路径无关的全部神秘，不过是链式法则披了件外套。
Goal: integral over C of F . dr, where F = (2xy, x^2 + 1), A=(0,0), B=(1,3)
Step 1 Test: d/dy [2xy] = 2x, d/dx [x^2 + 1] = 2x -> equal -> conservative
Step 2 Find phi with dphi/dx = 2xy -> phi = x^2 y + h(y)
Step 3 Then dphi/dy = x^2 + h'(y) must equal x^2 + 1 -> h'(y)=1 -> h(y)=y
so phi(x,y) = x^2 y + y
Step 4 Gradient theorem: phi(B) - phi(A) = phi(1,3) - phi(0,0)
= (1*3 + 3) - (0 + 0) = 6
No path was ever chosen. Any curve from (0,0) to (1,3) gives 6.一步步构造势函数
一旦混合偏导检验通过，还原 phi 就是一套利落的偏积分流程——一次一个变量地把梯度倒着跑回去。诀窍在于：对一个变量积分会留下一个未知的「常数」，它可能仍依赖于其他变量，而剩下的方程把它钉死。下面是二维场 F = (P, Q) 的流程。
- 在无洞区域上检查 P 对 y 的偏导是否等于 Q 对 x 的偏导。若不相等，停下——势不存在，你必须沿真实路径积分。
- 把 P 对 x 积分，把 y 当作冻结。这给出 phi，外加一个未知函数 h(y)，因为只依赖 y 的项在对 x 求偏导时会消失。
- 把你得到的候选 phi 对 y 求导，并令它等于 Q。含 x 的项相互抵消，剩下一个关于 h'(y) 的简单方程。
- 把 h'(y) 积分得到 h(y)，拼出完整的 phi，然后用梯度定理收尾这个场上的任何线积分：只需算 phi(终点) 减 phi(起点)。
本指南是这一阶的枢纽。线积分是原始对象——沿路径的功——而保守场是那个走运的情形，梯度定理让路径消失。后面的积分定理处理一般情形：格林定理会把回路积分改写成关于场旋转多少的面积积分，而你刚遇到的梯度定理是一座高塔的最低一阶，塔顶是广义斯托克斯定理。「在区域上积分一个导数，在边界上读出它的原函数」这一句话，是整个向量微积分秘密的心跳——而你现在已在曲线上见过它了。