场：空间中每一点上的一个值
走进本级所栖身的世界。在第一卷里，一个函数吃进一个数、吐回一个数；连向量场你在那里也只是匆匆一瞥。在这里，基本对象是一个场：一条把值钉在某块空间区域里每一个点上的规则。如果那个值是单独一个数——房间里的温度、空气中的压强、小山在每一块地面之上的高度——它就是一个[[scalar-field|标量场]]，记作 f(x, y, z)。想象那个房间：每一点上有一个数，即温度，而整个布置就是一片填满空间的、平滑的暖意地貌。
但许多量并不是单独一个数——它们既有大小，又有方向。流动河水的速度、风、引力的牵引、每一点上的电场力：这些都是给每一点系上一支箭头、而不是一个数。这就是一个[[vector-field-advanced|向量场]]，记作 F(x, y, z) = (P, Q, R)，其中 P、Q、R 各自是位置的普通标量函数，给出箭头的三个分量。想象那条河：每一点上都坐着一支小箭头，显示水往哪个方向流、流得多快——一整片箭头的海洋，时而打着旋，时而笔直奔流。正是这样的力场与流场，应了本级标题的承诺，也正是向量微积分存在的理由。
del：一支你能用来求导的向量
现在来认识那件统领全局的工具：[[del-operator|del 算子]]，写作 nabla，读作「del」。它是一个大胆而单纯的想法——把三个偏导数打包成一支向量。用符号写，nabla = (d/dx, d/dy, d/dz)：一支箭头，它的三个槽位里装的不是数，而是三道指令——「对 x 求导」「对 y 求导」「对 z 求导」。回想第一卷：偏导数 d/dx 量度一个多元量在你只推动 x、其余冻住时如何变化；nabla 不过是把这三种推动一并收进一个对象，让它像普通向量在空间里指方向那样，指出「求导的方向」。
这样打包为何如此有力，道理在这里。一支向量与另一个量做代数运算，恰好只有三种方式，而 nabla 三种全都遵从。你可以把向量乘到一个标量上（标量乘向量）；可以取两支向量的点积（向量点向量，得一个数）；还可以取两支向量的叉积（向量叉向量，得一支新向量）。把这三者分别施于 nabla，你便一举生成向量微积分的三种基本导数：nabla f 是梯度，nabla dot F 是散度，nabla cross F 是旋度。用一支向量的三种方式，对应三种导数——这就是全部的骨架，接下来的三节将逐一拆解。
梯度：最陡坡的方向
把 nabla 指向一个标量场，你得到梯度，nabla f = (df/dx, df/dy, df/dz)。它接过一片地貌，在每一点上交回一支箭头。你在第一卷里见过它，就是多元函数的梯度；让它牢牢扎根的画面是那座山。设 f 是小山在每一块地面之上的高度。那么某处的 nabla f 就是指向[[gradient-steepest-ascent|最陡上升]]方向的箭头——一颗弹珠若往上坡滚，会沿的那个方向——而它的长度恰是那最陡攀升有多陡。山平坦处梯度为零向量；山骤降处梯度则很长。
两个事实让梯度不可或缺，二者都直接从那幅画里流出。第一，梯度始终垂直于等值集——那些等高的等高线——因为沿一条等高线高度根本不变，于是「变化最陡」的箭头必然横着穿过等高线、而不沿着它。第二，梯度是一切方向坡度的总钥匙：你沿任意单位方向 u 行走时 f 的变化率，恰是点积 nabla f dot u，这正是多元那一级里方向导数说精确了的事。于是单单一支梯度向量，就一次性含住了每一个方向上的坡度——把它和你选定要走的那个方向点乘一下即可。
散度：一股流向外铺开多少
现在把 nabla 点入一个向量场，你得到[[calc-divergence|散度]]，每点上是单独一个标量：nabla dot F = dP/dx + dQ/dy + dR/dz。它接过一股流动，交回一个量度「外散」的数。再想那条河，把镜头推近，对准漂在水流里一只想象中的小方盒水。那一处的散度问：离开盒子的水，是不是比进入盒子的水多？正的散度意味着净流出——该点像一个微小的源，一只往里加流体的水龙头。负的散度意味着净流入——一个汇，一道把它吞下去的排水口。散度为零，意味着流进多少便流出多少，盒子既不增也不减；这样的流动称为不可压缩。
留意这次类型的转变，并好好品味它：散度吃进一个向量场（每点一支箭头），交回一个标量场（每点一个数）。这正是点积在尽它的本分——两支向量的点积总是一个数。它算出的那个数是地地道道局部的：某点的 nabla dot F 只取决于该点紧邻的小邻域里箭头如何变化，是「流出减流入」的无穷小版本。这个局部的「外散率」，是本级即将登场的一条大定理的种子——散度定理，它会把一块区域内部所有这种微观外散加起来，得到穿过其表面向外的总通量。眼下，只把散度读作每一点上的「源或汇」的强度。
旋度：一股流旋转多少
用向量 nabla 的第三种、也是最后一种方式是叉积，它给出[[curl|旋度]]，nabla cross F——又是一个向量场，因为两支向量的叉积是一支向量。散度量度外散，旋度则量度旋转。在某点的流动里放下一只小小的桨轮。如果水在一侧推得比另一侧更狠，桨轮就转起来。那一点的旋度，就是记录这局部旋转的箭头：它沿桨轮所绕的转轴指向（依右手定则——右手四指随旋转弯曲，拇指即给出方向），其长度是局部转动速率的两倍。流动无打旋处旋度为零，这样的场称为无旋。
有一个常见的陷阱值得立刻点明：旋度说的是局部的旋转，而不是整股流动整体上是否绕着圈走。水紧紧旋着冲下排水孔，与水沿一条又宽又直的河滑行，二者都可能有旋度、也都可能没有，全看那「切变」——相邻流线是否以不同速度运动。一股完美的圆形流动，若外圈的水恰好落后得足够多，也可以是无旋的；而一股笔直的流动，若一岸跑得比另一岸快、把那只小桨轮拧动，也可以有旋度。检验始终如一：一只自由漂浮的桨轮会不会绕自己的中心转？这——而非流线的形状——才是旋度所探测的。
把三者合在一起
ONE OPERATOR, THREE DERIVATIVES ( nabla = (d/dx, d/dy, d/dz) )
gradient nabla f scalar field -> vector field (slope, steepest ascent)
divergence nabla . F vector field -> scalar field (spreading: source/sink)
curl nabla x F vector field -> vector field (rotation: local spin)
Two identities that are always true (for smooth fields):
curl of a gradient = 0 nabla x (nabla f) = 0 gradients never swirl
div of a curl = 0 nabla . (nabla x F) = 0 curls never spread
Divergence of a gradient = the Laplacian:
nabla . (nabla f) = nabla^2 f = d2f/dx2 + d2f/dy2 + d2f/dz2盒子里那两条[[vector-identities|向量恒等式]]值得停一停，因为它们不是偶然——它们就是 nabla 与自己的点积和叉积，从同一套代数里落出来。任何梯度的旋度为零，nabla cross (nabla f) = 0，呼应着「一支向量与自身叉乘为零」：一个纯粹是坡度的场，永远不会打旋。任何旋度的散度为零，nabla dot (nabla cross F) = 0，呼应着「一支向量先点后叉为零」：一个纯粹是旋转的场，永远不会外散。这两个事实，是日后积分定理、以及整个势的概念赖以转动的、不声不响的合页。
还有一种组合，而它是数学物理里最重要的算子：梯度的散度，nabla dot (nabla f) = nabla^2 f，拉普拉斯算子。它把那些纯二阶导数 d2f/dx2 + d2f/dy2 + d2f/dz2 加起来，量度一点上的值与其邻居的平均值相差多少——这是扩散、稳态温度、静电学的核心。你也会遇到与之相关的向量拉普拉斯算子。拉普拉斯算子正是这些算子超越「记账」之所以要紧的缘由：它坐镇那几大偏微分方程——热方程、波动方程、拉普拉斯方程——的正中央，而本卷余下的内容，正是为解它们而建。
- 先认清场的类型：是标量场 f（每点一个数）还是向量场 F（每点一支箭头）。这决定了哪个算子才有资格作用。
- 对标量场，取梯度 nabla f，得到最陡坡的箭头——一个垂直于等值集的向量场。
- 对向量场，取散度 nabla dot F（一个标量：净外散）和旋度 nabla cross F（一个向量：局部旋转）。
- 需要时再组合：先梯度后散度给出拉普拉斯算子 nabla^2 f；并记住「梯度的旋度」与「旋度的散度」恒为零。