长度固定，形状自由
本阶梯中较早的几份指南，是在所有端点固定的曲线上极值化一个泛函 J[y] = L(x, y, y') 对 x 的积分，而稳定曲线所满足的条件就是欧拉-拉格朗日方程。但整个学科最著名的那个问题，并不能干净利落地塞进这个框架。传说中迦太基女王狄多被许诺：用一张牛皮剪成的细条能圈住多大的地，那地就归她——给定一根定长 P 的绳子，怎样的闭曲线能围出最大的面积？这就是最初的等周问题（iso = 相等，perimeter = 周长），而其中的关窍在于：我们已不能再随心所欲地改变曲线了——每一条参与竞争的曲线都必须保持同一个周长 P。我们要极值化一个泛函（面积），同时让另一个泛函（长度）保持固定。
如果这闻起来很像你在有限维里遇到的约束优化，那你的嗅觉一点没错。回忆有限维的拉格朗日乘数：要在 g(x) = c 的约束下极值化 f(x)，你不必硬碰约束——你构造 f - lambda g，并去寻找这个组合的无约束稳定点，让那个数 lambda 把约束吸收进去。变分法把这个想法整批继承了下来。如今未知量是整个的函数而非一个个点，目标与约束是积分而非普通函数，但这套配方在升级之后，其精神丝毫未变。
用于泛函的拉格朗日乘数
把方法浓缩成一句干净的话。要在固定取值的约束 K[y] = M 的积分 = c 下极值化 J[y] = L 的积分，就引入一个常数 lambda，转而去极值化组合泛函 J - lambda K = (L - lambda M) 的积分，把它当作一个普通的无约束问题来对待。这就是用于泛函的拉格朗日乘数。具体而言：写下修改后的被积函数 H = L - lambda M，对 H 跑一遍普通的欧拉-拉格朗日方程，你便得到一个含有未知数 lambda 的微分方程。这样你比先前多了一条方程，但也多了一个未知量——而那条补足的方程，恰恰就是约束 K[y] = c 本身，它把 lambda 钉死。数目恰好相配，系统就此封闭。
Isoperimetric / constrained variational problem
extremize J[y] = integral_a^b L(x, y, y') dx
subject to K[y] = integral_a^b M(x, y, y') dx = c (fixed)
Step 1 Form H = L - lambda * M (one unknown constant lambda)
Step 2 Euler-Lagrange on H:
d/dx ( dH/dy' ) - dH/dy = 0
Step 3 Solve the ODE for y(x); the answer carries lambda along.
Step 4 Impose K[y] = c to fix lambda (and use boundary data for
the integration constants).把它用在狄多女王的问题上，答案正是你的直觉一直在低声告诉你的那个：在所有给定长度的闭曲线之中，圆所围出的面积最大。当你把面积与长度都写成积分、构造 H、再施以欧拉-拉格朗日方程，所得的方程会说曲率处处为常数——而一条曲率为常数的平面曲线，恰恰就是圆。那个乘数 lambda 结果正好等于半径。同一套机器，把两个泛函的角色对调一下，也能证明其对偶命题：在所有围出给定面积的曲线之中，圆的周长最短。一套方法，由单独一个数来了断。
悬链，由一个乘数来裁定
最具物理意味的等周问题是悬链线——一条定长 L 的柔软链子悬挂在两根柱子之间所取的形状。大自然以一条美得慵懒的原理来裁定它：链子会下垂成任何能让其质心尽可能最低的形状，从而极小化重力势能。那势能正比于 y ds 的积分 = y sqrt(1 + y'^2) 对 x 的积分，即沿弧加权的高度。但链子无法伸长，所以它的总长度 sqrt(1 + y'^2) 的积分 = L 就是那个固定的约束。压低高度、保持长度：一个彻头彻尾的等周问题。
构造 H = (y - lambda) sqrt(1 + y'^2)——即高度被积函数减去 lambda 乘以长度被积函数。由于 H 中不显含 x，你可以略过完整的欧拉-拉格朗日方程，改用早先一份指南里的捷径——贝尔特拉米恒等式，它立刻给你一个首次积分：H - y' (dH/dy') = 常数。把它推演下去，便得到 y - lambda = C cosh((x - x0)/C)，即双曲余弦。链子挂成的是悬链线，而不是许多人所猜的抛物线。乘数 lambda 在这里同样有干净的物理含义：它不过是设定参考水平面的高度，即那个竖直方向的平移常数，而长度约束则定下垂度参数 C。同样的形状翻转过来，就是那座纯受压而屹立的拱——这正是它出现在大教堂穹顶与圣路易斯大拱门上的缘由。
多个函数，多个变量
真实问题里很少只牵涉单独一条未知曲线 y(x)。一颗行星划出的轨迹有好几个坐标 x(t)、y(t)、z(t)；一个振动系统同时拥有许多位移。设被积函数依赖于多个函数，L(t, y1, y2, ..., y1', y2', ...)。变分原理几乎不变：你可以独立地拨动每一个函数，因此每一个都必须各自使泛函稳定。结果是每个未知函数对应一条欧拉-拉格朗日方程，对每个 k 有 d/dt(dL/dyk') - dL/dyk = 0，它们通过共享的被积函数相互耦合。单条方程于是化为一个方程组，每个自由度一条——而这些耦合方程，正是哈密顿原理为整个力学系统重现牛顿定律的方式，每个坐标一条运动方程。
还有第二种真正不同的推广：未知量可以是多个变量的函数，比如某个区域上的高度 u(x, y)。这时泛函是一个二重积分，J[u] = L(x, y, u, u_x, u_y) 对 x、y 的二重积分，其中 u_x 与 u_y 是偏导数。如今对 u 作变分并要求稳定，所产生的不再是常微分方程，而是一个偏微分方程：d/dx(dL/du_x) + d/dy(dL/du_y) - dL/du = 0。最干净的例子是肥皂膜，即张在金属丝圈上的极小曲面：对平缓的膜而言，极小化面积在一阶近似下给出拉普拉斯方程，正是那条支配稳态热传导与静电学的拉普拉斯方程——于是一张绷紧的膜与一个温度场服从同一条定律，二者都是大自然在极小化某种能量时所做的事。
当端点可以自由移动
至此每一个问题都把曲线的两个端点都固定住了。但有时其中一端可以自由滑动。设想一颗穿在线上的珠子，必须从一根固定的柱子出发，却可以在一条竖直导轨上的任意处结束——最优路径会在导轨的哪一点与它相遇？当我们推导欧拉-拉格朗日方程时，那一步分部积分吐出了一个边界项，而我们是靠坚持变分在两端为零（端点固定就没有拨动的余地）才让它消失的。一旦端点自由，这条退路就没了：变分在那里不为零，于是边界项必须自己消失。令它为零，便给出解在自由端处必须满足的一个条件，它凌驾于内部的欧拉-拉格朗日方程之上、是额外的一条。
那个自我强加的条件，就是自然边界条件。对标准被积函数 L(x, y, y') 而言，它写作：在自由端处 dL/dy' = 0。这些条件之所以叫「自然」，是因为你并非依据边界的物理由手工把它们强加上去——变分原理会免费生成它们，作为你让端点松开所付的代价。它们正是自然边界条件，其物理读法十分鲜活：对一根末端无支撑的梁，自然条件说那里的弯矩为零；对张在开放边缘上的肥皂膜，它说膜以直角与边缘相交；对一根末端暴露的受热杆，它编码了那里没有被规定的热通量。自由端并不意味着「没有条件」——它意味着一个由数学替你选定的条件。