一道掷向全欧洲的挑战
1696 年，约翰·伯努利公开下了一道战书：在高度不同的两点之间，找出一段金属丝的形状，让一颗小珠在重力作用下、无摩擦地沿它滑下所用时间最短。不是直线，不是显而易见的圆弧，而是真正最快的曲线。这就是最速降线（希腊语意为“最短时间”）。诀窍在于：你要极小化的不是一个数，而是一整条曲线，而下滑时间是一个泛函——一台吃进函数 y(x)、吐出一个数的机器。正是这一步转变，从对数寻优转为对函数寻优，孕育了整个学科。
可时间到底怎么写下来？回忆第一卷的内容：一小步上的弧长是 ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx，由导数 y' = dy/dx 构成。能量守恒给出下落高度 y 之后的速度 v = sqrt(2 g y)。时间等于路程除以速度，所以总下滑时间就是这个定积分 T[y] = sqrt(1 + y'^2) / sqrt(2 g y) 对 x 的积分。现在我们要找出使这个积分尽可能小的 y(x)——这正是欧拉–拉格朗日机器为之而生的那类问题。
贝尔特拉米捷径
三个经典问题都有一个幸运的共同点：被积函数 F(y, y') 不显含 x。一旦如此，你就不必动用完整的二阶欧拉–拉格朗日方程，而是可以免费获得贝尔特拉米恒等式给出的一个首次积分：F - y' (partial F / partial y') = 常数。它是能量守恒在变分世界中的回声——当游戏规则不依赖于你在 x 轴上的位置时，就会掉出一个守恒量，正如一条不显含时间的定律守恒能量一样。这是诺特定理对你的第一声低语。
Full equation: d/dx ( dF/dy' ) - dF/dy = 0 If F has no explicit x (F = F(y, y')): Beltrami: F - y' * (dF/dy') = C (a constant) This turns a 2nd-order ODE into a 1st-order one.
求解最速降线
把 F = sqrt(1 + y'^2) / sqrt(y) 代入贝尔特拉米（略去常数 2g，它只起缩放作用）。整理之后，守恒量给出 y (1 + y'^2) = 常数。求解这个一阶关系，浮现出来的曲线是一条摆线——滚动车轮边缘上一点所描出的路径。参数式为 x = r(theta - sin theta), y = r(1 - cos theta)。答案既不是抛物线也不是圆弧；它在起点处陡然俯冲以积累速度，随后趋于平缓。大自然最快的滑道，是一条滚轮曲线。
- 把下滑时间写成泛函 T[y] = sqrt(1 + y'^2) / sqrt(2 g y) 对 x 的积分。
- 注意到 F 不显含 x，于是改用贝尔特拉米恒等式，而非完整方程。
- 把首次积分化简为 y (1 + y'^2) = 常数，这是一个可分离变量的一阶常微分方程。
- 代入 y = r(1 - cos theta)；积分便化为摆线 x = r(theta - sin theta)。
悬挂的链条与最短的路径
接下来是悬链线：把一条柔软的链子挂在两枚钉子上，问它最终会安顿成什么形状。从物理上说它极小化重力势能，也就是极小化以高度加权的长度积分 y sqrt(1 + y'^2) 对 x 的积分——但只能在总长度固定的曲线之中比较。这条长度约束使它成为一个等周问题，要用泛函的拉格朗日乘子来处理。再次施以贝尔特拉米，解便是双曲余弦：y = a cosh(x/a)。众所周知，悬链线并不是抛物线，尽管两者在底部附近看起来惊人地相似——这是一个值得纠正的经典误解。
再来是测地线：曲面上两点之间的最短路径。在平面上，长度泛函 sqrt(1 + y'^2) 对 x 的积分由一条直线取得极小——代入欧拉–拉格朗日，得到 y'' = 0，恰如所料。在曲面上，同样的想法经过测地线方程后会让答案弯曲：球面上最短的路线是大圆，这正是远程航班向极地拱起的原因。测地线正是变分法把接力棒交给微分几何、并最终交给广义相对论的地方。
肥皂膜与诚实的提醒
把两个同轴的圆环浸入肥皂水，环间的薄膜就是一张极小曲面——它极小化面积，因为表面张力把它拉得紧绷。把面积泛函送入欧拉–拉格朗日（x 再次缺席，故贝尔特拉米适用），得到的是悬链面，即把悬链线 y = a cosh(x/a) 旋转一周所成的曲面。同一个双曲余弦，既支配着肥皂膜的极小曲面，也支配着悬挂的链条——这是一个静默而优美的巧合，实质上是同一种变分结构披着两件不同的外衣。
再补一句诚实话：驻定解未必存在，也未必唯一。把肥皂膜问题的两个圆环拉得太开，悬链面的解就干脆失效了——薄膜会突变成两片平圆盘。欧拉–拉格朗日条件是必要条件，而非什么存在性的魔法保证；这些经典问题之所以珍贵，恰恰在于它们既展示了方法的威力，也指明了你必须用物理常识去核验答案的地方。